Критериальный ЯЗЫК

Рис. 7.4.1. Классификация задач выбора и способов их решения при их описании на критериальном языке

Выбор как максимизация критерия. Если сделать предположение, что выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям (т.е. считать, что выбор осуществляет­ся в условиях определенности) и заданный критерий q(x) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшей альтернативой х* является, естественно, та, которая обладает наибольшим значением критерия:

(1)

Задача отыскания х*, простая по постанов­ке, часто оказывается сложной для решения, поскольку метод ее решения (да и сама возможность решения) определяется как характером множества X (размерностью вектора х и типом множества X — является ли оно ко­нечным, счетным или континуальным), так и характером критерия (является ли q(x) функ­цией или функционалом и какой или каким именно).

Рис. 7.4.1.1.

Иллюстрация методов решения многокритериальных задач: а) оптимизация по одному "суперкритерию", являющемуся линейной комбинацией частный критериев; б) метод усту­пок; в) задание уровней притязания; г) нахождение паретовского множества альтернатив

Однако сложность отыскания наилучшей альтернативы существенно возрастает, так как на практике оценивание любого варианта единственным числом обычно оказывается неприемлемым упрощением. Более полное рассмотрение альтернатив приводит к не­обходимости оценивать их не по одному, а по нескольким критериям, качественно различающимся между собой. На­пример, при выборе конструкции самолета проектировщикам следует учитывать множество критериев: технических (высотность, скорость, маневренность, грузоподъемность, длительность полета и т д.), техноло­гических (связанных с будущим процессом серийного изготовления са­молетов), экономических (определяющих затраты на производство, эксплуатацию и обслуживание машин, их конкурентоспособность), со­циальных (в частности, уровень шума, загрязнение атмосферы), эргоно­мических (условия работы экипажа, уровень комфорта пассажиров) и пр. Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не исполь­зуем единственный критерий: вспомните хотя бы затруднения при выбо­ре подарка ко дню рождения или при выборе места для стоянки в тур­походе.

Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев q_i (x), i=1,...,р. Теоретически можно представить себе слу­чай, когда во множестве X окажется одна альтернатива, обладающая наибольшими значениями всех р критериев; она и является наилучшей. Однако на практике такие случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять выбор (так, например, на рис. 7.4.1.1. множеству X соответствуют внутренние точки фигуры на плоскости зна­чений двух критериев q_l и q₂; оба критерия желательно максимизиро­вать).

Способы решения много­критериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокрите­риальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

q_o(x) = q₀(q₁(x), q₂(x),..., q_p(x)) (2)

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q₀, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функ­ции q₀ определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или муль­типликативные функции:

(3)

(4)

Коэффициенты s_i обеспечивают, во-первых, безразмерность числа q_i/s_i (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смыс­ла) и, во-вторых, в необходимых случаях (как в формуле (4)) выпол­нение условия b_i q_i/s_i ≤1. Коэффициенты a_i и b_i отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации супер­критерия:

х* = arg q₀(q₁(x),..., q_p(x)) (5)

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, кото­рые необходимо учитывать при использовании этого метода. Оставив в стороне трудности построения самой функции и вычислительные трудности ее максимизации, обратим внимание на следующий очень важ­ный момент. Упорядочение точек в многомерном пространстве в прин­ципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упо­рядочивающей функции.

Суперкритерий играет роль этой упорядочи­вающей функции, и его даже "небольшое" изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива окажется очень сильно отличающейся от старой. На рис. 7.4.1.1., а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов в линейной упорядочивающей функции (3), что отражается в изменении наклона соответствующей прямой: q₀₁(x₁*) > q₀₁(x₂*), но q₀₂(x₁*) < q₀₂(x₂*) Заметим, что линейные комбинации частных критериев придают упорядочению следующий смысл: "чем дальше от нуля в задан­ном направлении, тем лучше". На рис. 7.4.1.1.,а) направления, соответствую­щие суперкритериям q₀₁ и q₀₂, изображены стрелками. Идея такого упорядочивания в многомерном пространстве заложена в некоторых балльных системах оценки вариантов. Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля в заданном направлении, дает максимизация минимального критерия:

х* = arg (6)

что означает поиск вокруг направления a_iq_i/s_i = const методом "под­тягивания самого отстающего".

Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рас­смотрим теперь второй способ решения таких задач. Он заключается в ином, нежели при свертывании, использовании того факта, что частные критерии обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем другие). Наиболее явное выражение этой идеи состоит в выделении основного, главного критерия и рассмотрении остальных как дополни­тельных, сопутствующих. Такое различие критериев позволяет сформу­лировать задачу выбора как задачу нахождения условного экстремума основного критерия:

х* = arg { q₁(x) | q_i(x)=C_i, i=2,3,…,p }(7)

при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях. На рис.1,б) приведено решение задачи:

х₁* = arg {max q₂(x) | q₁(x)=C₁ }.

х

В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко, как в задаче (7). Например, если сопутствующий критерий характери­зует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа не­равенств:

x* = arg { q_l(x) | q_i ≤ C_i, i = 2,..., p }. (8)

На рис.1, б) приведено решение задачи х₂* = arg {max q₂ | q₁ ≤ С₁}.

x

Отметим, что такое, казалось бы, незначительное изменение постановки за­дачи требует принципиально иных методов ее решения.

В рамках того же подхода ("ограничения на критерии", "разноважные критерии") возможны и другие варианты. В предыдущих двух вари­антах различие между основным и дополнительными критериями выглядит слишком сильным. Иную постановку задачи дает метод уступок.

Пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важ­ности. Возьмем первый из них и найдем наилучшую по этому критерию альтернативу (на рис. 7.4.1.1.,б)это х₂*, если самым важным критерием является q₂, и х₄*, если им является q₁). Затем определим "уступку", т.е. величину, на которую мы согласны уменьшить достигнутое зна­чение самого важного критерия, чтобы за счет уступки попытаться увеличить, насколько возможно, значение следующего по важности критерия, и т.д. (на рис. 7.4.1.1.,б)полученные таким образом альтернативы изображены точками х₃* и x₅*).

Третий способ многокритериального выбора относится к случаю, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев (или границы), и задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлет­воряющую этим требованиям, либо, установив, что такая альтернатива во множестве X отсутствует, найти в X альтернативу, которая подходит к поставленным целям ближе всего. Характеристики решения такой задачи (сложность процесса вычислений, скорость сходимости, конеч­ная точность и пр.) зависят от многих факторов. Снова оставив в стороне вычислительные и количественные аспекты (что является далеко не простой и в ряде случаев нерешенной задачей), обсудим некоторые принципиальные моменты данного подхода.

Удобным свойством является возможность задавать желательные значения критериев как точно, так и в виде верхних или нижних границ; назначаемые значения величин иногда называют уровнями притязаний, а точку их пересечения в р -мерном пространстве критериев — целью или опорной точкой, идеальной точкой. Поскольку уровни притязаний задаются без точного знания структуры множества X в пространстве частных критериев, целевая точка может оказаться как внутри, так и вне Х (достижимая или недостижимая цель; на рис.1,в) приведены оба варианта, соответственно х₁* и х₂*).

Теперь идея оптимизации состоит в том, чтобы, начав с любой альтер­нативы, приближаться к х* по некоторой траектории в пространстве X. Это достигается введением числовой меры близости между очередной альтернативой х и целью х*, т.е. между векторами q(x) = (q₁(x),..., q_p(x)) и .Можно по-разному количественно описать эту бли­зость. Например, используют расстояния типа

(9)

либо расстояния типа

(10)

где считается, что q_i , a_i — коэффициенты, приводящие слагаемые к одинаковой размерности и одновременно учитывающие разноважность критериев, a_p+1 выражает наше отношение к тому, что важнее — умень­шать близость к цели любого из частных критериев или суммарную близость всех критериев к целевым значениям. Если часть уровней при­тязания ограничивают критерии снизу (q_i , i = 1,..., р’), часть ограни­чивают их сверху (q_i , i = р’ + 1,...,р"), а остальные задают их жест­ко (q_i , i = р’’ + 1,...,р), то функцию (10) модифицируют:

(11)

где

Конечно, возможны и другие меры близости, но для функций (9) и (11) проведены подробные исследования их математических свойств, что важно для обеспечения сходимости процесса минимизации этих функций, в ходе которого обеспечивается приближение к х*.

Четвертый полностью формализуемый способ многокритериального выбора состоит в отказе от выделения единственной "наилучшей" аль­тернативы и соглашении о том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только если первая по всем критериям лучше второй.

Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив; все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается, рис. 7.4.1.1., г) жирной линией выделено множество Парето для рассматриваемого примера. При необходимости же выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые, добавочные критерии и ограничения, либо бросать жребий, либо прибе­гать к услугам экспертов.