Алгоритм решения

Для определенности будем исследовать ПЗВИ на минимум. 1. Найти допустимые экстремали. С этой целью выписать необходимое условие экстремума первого порядка для ПЗВИ — уравнение Эйлера: − d dtfbx˙(t) + fbx(t) = 0. Найти решения уравнения Эйлера xb, удовлетворяющие заданным условиям на концах ("допустимые экстремали") 72. Для каждой допустимой экстремали проверить необходимые и достаточные условия локального минимума второго порядка. 2.1. Проверить выполнение условия Лежандра: а) Если условие Лежандра не выполнено, т.е функция fbx˙x˙ знакопеременна на отрезке [t0, t1], то не выполнено необходимое условие слабого (а, следовательно, и сильного) экстремума. б) Если выполнено условие Лежандра: fbx˙x˙(t) ≥ 0, ∀t ∈ [t0, t1], то xb можно подозревать на точку слабого (сильного) локального минимума. в) Если выполнено усиленное условие Лежандра, то переходим к проверке условия Якоби. 2.2. Записать уравнение Якоби на экстремали xb: − d dt fbx˙x˙(t)h˙(t) + fbxx˙ (t)h(t) + fbxx˙(t)h˙(t) + fbxx(t)h(t) = 0 и решить его с начальными данными h(t0) = 0, h˙(t0) = 1. 2.3. Найти сопряженные с t0 точки τ, т.е. нули найденного решения h(t) уравнения Якоби при t > t0 и проверить выполнение условия Якоби. Если при выполнение усиленного условия Лежандра условие Якоби не выполнено, то не выполняется необходимое условие, следовательно, xb — не доставляет локального минимума. Если при выполнении усиленного условия Лежандра выполнено усиленное условие Якоби, то выполнено достаточное условие слабого минимума, и xb ∈ wlocmin. 2.4. Проверка на сильный минимум. 8а) Если интегрант f является выпуклым по x˙ при всех фиксированных t и x, рассматриваемых в качестве параметра, то xb доставляет сильный минимум в задаче. б) Если интегрант f является ни выпуклым ни вогнутым, то следует проверить выполнение необходимого условия сильного экстремума — условие Вейерштрасса: E(t, x, b ˙x, u b) ≥ 0, ∀u ∈ R, ∀t ∈ [t0, t1]. Если не выполнено условие Вейерштрасса, то в этом случае найденная допустимая экстремаль не доставляет сильного

21) задача Больца

Задачей Больца (ЗБ) называется следующая экстремальная задача: B(x(·)) = Z t1 t0 f(t, x(t), x˙(t))dt + ψ(x(t0), x(t1)) → extr, (2.1) 15где f = f(t, x(t), x˙(t)) — данная функция трех переменных, а ψ = ψ(x0, x1) — данная функция двух переменных. Функцию f называют интегрантом, функцию ψ — терминантом, функционал B — функционалом Больца. Отрезок [t0, t1] предполагается фиксированным и конечным, t0 < t1. Задачу Больца рассматриваем в слабой постановке, т.е. экстремум функционала (2.1) ищем среди непрерывно дифференцируемых функций, которые в данной задаче будут допустимым

Алгоритм: 1. Выписать необходимые условия экстремума первого порядка: а) уравнение Эйлера − d dtfbx˙ + fbx = 0; б) условия трансверсальности fbx˙(t0) = ψb x(t0), fbx˙(t1) = −ψb x(t1). Найти допустимые экстремали, т.е. решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие условиям трансверсальности. 162. Показать используя определение, что решением является одна из допустимых экстремалей или, что решения нет.

22) Задача с подвижными концами

Задачей с подвижными концами называется следующая экстремальная задача: J(ξ) = J(x(·), t0, t1) = Z t1 t0 fi(t, x(t), x˙(t))dt + ψ0(t0, x(t0), t1, x(t1)) → extr (5.1) ψi(t0, x(t0), t1, x(t1)) = 0, i = 1, m, (5.2) где ξ = (x(·), t0, t1), 4 — заданный отрезок, t0, t1 ∈ 4, t0 < t1. Элемент ξ = (x(·), t0, t1) называется допустимым, если x ∈ C 1 (4), t0, t1 ∈ 4, t0 < t1, и выполняется условие (5.2) на концах

Алгоритм решения Выписать: интегрант задачи L = L(t) = L(t, λ) = λ0f(t, x, x˙), терминант задачи l = X m i=0 λiψi(t0, x(t0), t1, x(t1)), функцию Лагранжа L = Z t1 t0 L(t)dt + l(t). 321. Записать необходимые условия: а) условие стационарности по x — уравнение Эйлера для интегранта L − d dtLx˙ i (t) + Lxi (t) = 0, ∀t ∈ 4; б) условия трансверсальности для l Lx˙(t0) = lx(t0), Lx˙(t1) = −lx(t1); в) условие стационарности по подвижным концам Lt0 = Lt0 (t0) = 0 ⇔ −λ0f(t0) + lt0 + lx(t0)x˙(t0) = 0, Lt1 = Lt1 (t1) = 0 ⇔ λ0f(t1) + lt1 + lx(t1)x˙(t1)