минимум

25 Задача Лагранжа) Пусть n — фиксированное натуральное число, k, m ≥ 0 — целые,причем k ≤ n, fi, i = 0, m, ψi, i = 0, m, ϕi, i = 0, k — известные функции своих аргументов, 4 — заданный отрезок числовой прямой, t0, t1 ∈ 4◦, t0 < t1, x(·) ≡ (x1(·),..., xn(·)) ∈ C 1 n (4), ξ = (x(·), t0, t1), ||ξ|| = max{||x||1, |t0|, |t1|}. Зададим функционалы Bi(ξ) = Z t1 t0 fi(t, x(t), x˙(t))dt + ψi(t0, x(t0), t1, x(t1)), i = 0, m. 6.1 Постановка задачи Задачей Лагранжа в Понтрягинской форме называется следующая экстремальная задача: B0(ξ) → inf) Bi(ξ) ≤ 0, i = 1, m0, (6.2) Bi(ξ) = 0, i = m0 + 1, m, (6.3) 35x˙ j (t) = ϕj (t, x(t)), j = 1, k, (6.4) (6.4) — называется дифференциальной связью. Определение 12. Допустимая точка ξb = (xb(·), bt0, bt1) в задаче (6.1) − (6.4) доставляет слабый локальный минимум (максимум), если существует δ > 0, что для любой допустимой функции ξ = (x(·), t0, t1) для которой kξ − ξbk < δ выполняется B0(ξ) ≥ B0(ξb) B0(ξ) ≤ B0(ξb). 6.2 Алгоритм решения Выписать лагранжиан задачи: L = L(t) = L(t, λ) = X m i=0 λifi(t, x, x˙) +X k j=0 pj (·)(xj − ϕ), где λ = (λ0,..., λm) 6= 0 — вектор множителей; терминант задачи l = X m i=0 λiψi(t, x, x˙); функцию Лагранжа: L = Z t1 t0 L(t)dt + l(t). 1. Выписать необходимые условия: а) условие стационарности для лагранжиана задачи по x − d dtLbx˙ i (t) + Lbxi (t) = 0, i = 1, m; (6.5) б) условия трансверсальности Lbx˙ i (t0) = blxi(t0), i = 1, m, Lbx˙ i (t1) = −blxi(t1), i = 1, m; 36в) условие стационарности по подвижным концам Lbt0 = Lt0 (ξb) = 0 ⇐⇒ −f(t0) + lt0 + lx(t0)x˙(t0) = 0, Lbt1 = Lt1 (ξb) = 0 ⇐⇒ f(t1) + lt1 + lx(t1)x˙(t1) = 0; Отметим, что условия выписывается только для подвижных концов. г) условие дополняющей не жёсткости д) условие не отрицательности

24) Задачей со старшими производными (ЗССП) называется следующая экстремальная задача: J(x(·)) = Z t1 t0 f(t, x(t), x˙(t),..., x(n) (t))dt → extr, (4.1) 26x (k) (t0) = x k j, k = 0, 1,..., n − 1, j = 0, 1. (4.2) где f = f(t, x(t), x˙(t)) — данная функция n + 1 переменных, называемая интегрантом. Отрезок [t0, t1] предполагается фиксированным и конечным, t0 < t1. Экстремум функционала (4.1) ищется среди непрерывно дифференцируемых функций x ∈ C 1 ([t0, t1]), удовлетворяющих условиям (4.2) на концах отрезка [t0, t1]. Такие функции называют допустимыми. Введем норму в пространстве C n ([t0, t1]): kxkn = kxkCn([t0,t1]):= max n kxkC, kx˙kC,..., kx (n) kC o, где kxkC:= max t0≤t≤t1 {|x(t)|}.. Допустимая функция xb доставляет слабый локальный минимум в задаче если существует δ > 0 такое, что J(x(·)) ≥ J(xb(·)) для любой допустимой функции x, для которой kx(·) − xb(·)kn < δ. Определение 10. Допустимая функция xb доставляет слабый абсолютный минимум в задаче (4.1), (4.2) (xb ∈ wlocmin (4.1)), если существует δ > 0 такое, что J(x(·)) ≥ J(xb(·)) для любой допустимой функции x. Если в качестве множества допустимых функций выбрать множество кусочно-непрерывно дифференцируемых функций на [t0, t1] (x ∈ KC1 [t0, t1]), удовлетворяющих краевым условиям (4.2), то ЗССП (4.1)–(4.2) исследуют на сильный экстремум с нормой kxkn−1. Уравнение X n k=0 (−1)k d dtk fb x (k) (t) = 0 называют уравнением Эйлера-Пуассона. Алгоритм:Записать необходимое условие экстремума первого порядка — уравнение Эйлера-Пуассона: X n k=0 (−1)k d dtk fx (k) = 0. Найти допустимые экстремали, т.е. решения уравнения Эйлера- Пуассона, удовлетворяющие краевым условиям на концах. 2. Проверить на допустимых экстремалях необходимые и достаточные условия высших порядков. a) Проверить выполнение условия Лежандра. Если не выполнено условия Лежандра, то не выполнено необходимое условие экстремума, т.е. найденная допустимая экстремаль не доставляет экстремума. Если выполнено усиленное условие Лежандра, то перейти к проверке условия Якоби. б) Проверка условия Якоби. Если не выполнено условия Якоби, то не выполнено необходимое условие экстремума, т.е. найденная допустимая экстремаль не доставляет экстремума Если проверка необходимых и достаточных условий 2-го порядка затруднена, то можно провести исследование при помощи определения экстремума