Показать, что найденные в пункте 1 допустимые экстремали доставляют экстремум или нет

Изопериметрическая задача

Постановка задачи Изопериметрической задачей (ИЗ) называется следующая экстремальная задача: J0(x(·)) = Z t1 t0 f0(t, x(t), x˙(t))dt → extr, (3.1) Ji(x(·)) = Z t1 t0 fi(t, x(t), x˙(t))dt = γi, i = 1, m, (3.2) x(t0) = x0, x(t1) = x1, (3.3) где fi = fi(t, x(t), x˙(t)) — данные функции трех переменных. Отрезок [t0, t1] предполагается фиксированным и конечным, t0 < t1. Экстремум функционала (3.1) ищется среди непрерывно дифференцируемых функций x ∈ C 1 ([t0, t1]), удовлетворяющих изопериметрическим условиям (3.2) и условиям на концах (3.3), такие функции называются допустимыми

Алгоритм решения 1. Выписать необходимое условие экстремума первого порядка — уравнение Эйлера − d dtLbx˙(t) + Lbx(t) = 0 (3.4) для лагранжиана задачи L = L(t) = L(t, λ) = X m i=0 λifi(t, x, x˙), где λ = (λ0,..., λm) — вектор, так называемых, множителей Лагранжа, одновременно не обращающихся в ноль. Найти решение xb(t) уравнения (3.4), удовлетворяющие условиям (3.2) и (3.3), т.е. допустимые экстремали в данной задаче. При этом необходимо рассмотреть случаи λ0 = 0 и λ0 6= 0. Во втором случае λ0 выбирается произвольно. 2. Для каждой допустимой экстремали проверить необходимые и достаточные условия экстремума второго порядка. 2.1 Проверить выполнение условия Лежандра: а) если условие Лежандра не выполнено, не выполнено необходимое условие слабого экстремума, т.е. xb не доставляет локального экстремума задачи; б) если выполнено усиленное условие Лежандра, то переходим к проверке условия Якоби. 222.2 Проверка условия Якоби. Дадим аналитическое средство нахождения сопряженных точек для случая, когда функции gi, i = 1,..., m, линейно независимы на отрезках [τ0, τ1], t0 ≤ τ0 < τ1 ≤ t1. Пусть h0 — решение однородного уравнения Якоби (µi = 0, i = 1,..., m) с краевыми условиями h0(t0) = 0, h˙ 0(t0) = 1; hj — решение неоднородного уравнения Якоби (µi = 0, i 6= j), и краевыми условиями hj (t0) = 0, h˙ j (t0) = 0, j = 1,..., m. Если при выполнение усиленного условия Лежандра условие Якоби не выполнено, то не выполняется необходимое условие экстремума, следовательно, xb — не доставляет локального экстремума. Если при выполнение усиленного условия Лежандра выполнено усиленное условие Якоби, то проверяем условие регулярности. 2.3 Проверка условия регулярности. Если условие регулярности выполнено, то на xb выполнены достаточное условие слабого минимума. Если выполнено усиленное условие Якоби, то допустимая экстремаль существует, единственна и доставляет абсолютный