Избранные задачи теории вероятностей

Глава 1. Случайные события и операции над ними

Случайное событие

Часто приходится размышлять над такими терминами, как «вероятность», «случай», «событие». Для наглядности и доходчивости они иногда заменяются разными синонимами, но суть их не меняется. Оттенок они получили вполне определенный. Теперь договоримся, что как назвать.

Подбрасываем монету. Появился герб. А ведь могла появиться и цифра. То, что появился герб, – случайное событие.

Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. Конечно, это дело случая: он мог встретить только одного знакомого, четырех или вообще не встретить знакомых.

То, что он встретил именно трех, — случайное событие.

В этих примерах случайные события — последствия определен­ных действий или результаты наблюдений при реализации комплекса условий (подбрасывание монеты, выстрел, прогулка).

На основании только что разобранных примеров можно составить следующую характеристику случайного события.

Случайным событием называется такой исход эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Кратко «случайные события» называют «событиями». Выделим два частных вида событий.

Проведем вначале (мысленно, разумеется) следующий экспери­мент: стакан с водой перевернем дном вверх. Если этот опыт прово­дить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. Это досто­верное событие.

Достоверным событием называется такое событие, которое при реализации данного комплекса условий непременно произойдет.

Произведено три выстрела по мишени. «Произошло пять попаданий» — невозможное событие.

Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе — не­возможное событие.

Буквы слова «антагонизм» наугад переставляем. Получится сло­во «анахронизм» — невозможное событие.

Невозможным событием называется такое событие, которое за­ведомо не может произойти при реализации данного комплекса условий.

Случайные события принято обозначать большими буквами ла­тинского алфавита A, В, С с индексами или без них[2]. Достоверное событие будем обозначать U, невозможное — V.

Задачи

Задача 1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2) 30 февраля.

Задача 2. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Случайным образом открывается учебник литературы и нахо­дится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы «К»; 2) с буквы «Ь».

Задача 3. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из списка журнала VIII класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 14 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.

Задача 4. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипела при t = 80°С; 2) когда температура упала до –5° С, вода в луже замерзла.

Задача 5. Для каждого из описанных событий определите, какимоно является: невозможным, достоверным или случайным.

Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Задача 6. Для каждого из описанных событий определите каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Бросают две игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков ровна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15.

Задача 7. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «стопроцентная вероятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно»:

а) день рождение моего друга – число, меньше чем 32;

б) на уроке математики ученики делали физические упражнения;

в) на уроке математики ученики решали математические задачи;

г) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2007 году;

д) сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2007 году;

е) из интервала (1;2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным;

ж) из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось смешанным;

з) вверх подкинули монету и она упала на землю «орлом»;

и) вверх подкинули монету и она упала на землю, встав на ребро.

Задача 8. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:

а) в написании выбранного слова есть гласная буква;

б) в написании выбранного слова есть буква «о»;

в) в написании выбранного слова нет гласных букв;

г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

Задача 9. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Даны два интервала (0; 1) и (5; 10). Из первого интервала выбрали число а, из второго – число с. Оказалось, что:

а) число а меньше числа с;

б) число а больше числа с;

в) число а + с принадлежит интервалу (5; 10);

г) число а + с не принадлежит интервалу (5; 10).

Задача 10. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное:

а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;

б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.