Произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:
A — «выбранные числа кратны 2»,
В — «выбранные числа кратны 3»,
С — «выбранные числа кратны 6».
Событие С происходит, если одновременно происходят события A и В. Если одно из событий A или В не произойдет, то не произойдет и С. Принято такое событие С называть произведением событий A и В.
В общем случае произведение событий определяется так:
Произведением событий A 1, A 2, A3,…, Ап называется событие А, состоящее в одновременном исполнении всех (и А1, и A 2, и A 3,..., и Аn) событий A 1, A 2, A3,…, Ап.
Символически:
A = A 1 A 2 A3 … Ап. (2.3)
Рассмотрим еще пример:
A — «входящий в подъезд человек — мужчина»,
В — «входящий в подъезд человек светловолосый»,
С — «входящий в подъезд человек — светловолосый мужчина».
Событие С происходит только при одновременном исполнении событий A и В, поэтому С = АВ.
Пусть события A и В представлены подмножествами одного и того же множества элементарных событий E так: A (е1, е2, е3), В(е2, e3, e4).
Тогда произведение АВ будет представлено пересечением этих подмножеств .
|
|
Рис. 3
Рис. 4
Вообще, если событие А представлено подмножеством А* множества элементарных событий Е, а событие В — подмножеством В* того же самого множества элементарных событий, то произведение А В будет представлено пересечением .
Изображая события А и В разными полукругами, получим следующую геометрическую интерпретацию события С = АВ (рис. 3).
Сравнивая события
А — «появление герба при первом бросании монеты»,
В — «появление цифры при первом бросании монеты», выясняем, что совместное осуществление этих событий невозможно.
Символически это записываем так:
АВ = V. (2.4)
Геометрическая интерпретация приведена на рисунке 4.
Два события А и В, произведение которых — невозможное событие (АВ = V), называются несовместимыми событиями.
Произведение несовместимых событий представляется пустым множеством. Для таких событий А и В определение суммы событий формулируется так:
Суммой двух несовместимых событий А и В называется событие С, осуществляющееся в появлении либо события А, либо события В.
Разберемся в таких событиях:
А1 — «появление одного очка при бросании игральной кости»,
A 2 — «появление двух очков при бросании игральной кости»,
A 3 — «появление трех очков, при бросании игральной кости»,
А — «появление не больше трех очков при бросании игральной кости».
Имеют место следующие зависимости:
1) А = А1 + А2 + А3; 2) А1А2 = V; А1А3 = V; А2А3 = V.
Если события A 1, A 2, A3 и А удовлетворяют условиям (1) и (2), то событие А составлено из событий A 1, A 2, А3.
Рассмотрим следующие пары событий:
|
|
Естественно, события в каждой из пар считать противоположными. Установим два свойства, которым удовлетворяет любая из этих пар событий:
1. Сумма событий каждой пары — достоверное событие:
A1 + A2=U,
B1 + B2=U,
С1 + С2= U.
2. Произведение событий каждой пары — невозможное событие:
A1 A2=V,
В1 В2 = V,
С1 С2 = V.
Теперь можно ввести определение:
Если сумма событий А и В — достоверное событие, а произведение — невозможное событие, события А и В называются противоположными.
Если А и В — противоположные события, то символически записываем это так:
, или
Тогда , а .
Задачи
Задача 15. Событие А – «попадание в мишень первым выстрелом»,
событие В – «попадание в мишень вторым выстрелом».
В чем состоит событие АВ?
Задача 16. Событие А1 – «появление четного числа очков при бросании игральной кости»,
событие А2 – «появление 2 очков при бросании игральной кости»,
событие А3 – «появление 4 очков при бросании игральной кости»,
событие А4 – «появление 6 очков при бросании игральной кости».
Докажите:
1) ;
2) А2А3 = V;
3) .