Электромагнитное поле диполя Герца

Вибратор Герца – это двухполюсник с изменяющимся со временем зарядом каждого полюса (рис. 6).

Рисунок 6 – вибратор Герца

Поле вибратора Герца можно описать с помощью уравнений Даламбера для векторного и скалярного потенциалов (4.7) и (4.8) с калибровкой Лоренца (4.9). Так плотность зарядов может быть выражена через вектор поляризации (1.8) , плотность токов через намагниченность (1.11) , то уравнения (4.7) и (4.8) можно записать в виде

, (6.1)

Выполнение калибровки Лоренца можно добиться, введя неявно векторы Герца: электрический ПЕ и магнитный ПМ с помощью соотношений

. (6.2)

Тогда уравнения (6.1) вместе с калибровкой Лоренца (4.9) приводятся к виду

. (6.3)

Второе из этих уравнений выполняется, если

,

где – произвольный вектор. Тогда первое из (6.3) сводится к уравнению

,

Откуда следует, что

,

где  – произвольный скаляр. Полагая без ограничения общности  = 0, , приходим к уравнениям Даламбера для векторов Герца

, (6.4)

решение которых можно записать в виде

(6.5)

Вектор напряженности электрического поля и вектор индукции магнитного поля выражаются через векторы Герца следующим образом

(6.6)

Если данные уравнения применять к вибратору Герца, то рассматривая поле вибратора на больших расстояниях r äто его можно считать сосредоточенным диполем и положить . Здесь – дельта-функция Дирака. Тогда из (6.5) получаем

. (6.7)

Так как вне вибратора , то получаем для векторов напряженности и индукции электрического и магнитного ролей

. (6.8)

Ближняя и дальняя зоны

Подставив (6.7) в (6.8), получаем

(6.9)

В выражениях (6.9) можно выделить три составные части в зависимости от степени их убывания при r ® ¥. Первая часть, убывающая как r –3, представляет собой поле квазистатического диполя в ближней (квазистационарной) зоне

(6.10)

Вторая часть, убывающая как r –2, представляет собой поле квазистатического тока поляризации

. (6.11)

Третья часть, убывающая как r –1, представляет собой поле излучения, соответствующее дальней зоне

. (6.12)

Сопротивление излучения

Терлецкий Я.П., Рывкин Ю.П. Электродинамика. С. 128.

Для определения сопротивления, оказываемому средой излучению вычислим вектор Умова-Пойнтинга в дальней (волновой) зоне

Интегрируя это соотношение по поверхности сферы, получим мощность, излучаемую вибратором Герца

.

В случае гармонического вибратора Герца

Мощность излучения определяется соотношением

.

В случае простейшей антенны

,

усредняя мощность и ток по времени за период, получим

,

где величина

называется сопротивлением излучения антенны или ее эквивалентным сопротивлением, поскольку потери на излучение эквивалентны потерям на омичеком сопротивлении RI.

Диаграмма направленности

Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. С. 177.

Терлецкий Я.П., Рывкин Ю.П. Электродинамика. С. 132.

Пусть в линейной антенне длины  возбуждается стоячая гармоническая волна тока плотностью

,

где (x) и (y) – дельта-функции Дирака, а , – единичный вектор, направленный вдоль антенны. Используя сферические координаты, полюс которых помещен в середину антенны, можно записать для электрического вектора Герца следующее выражение

.

Плотность мощности, отнесенная к единице телесного, усредненная по времени, для случая резонансного излучения, когда k  N/, определится соотношением

. (6.13)

Минимумы излучения определяются условием

,

т.е. число минимумов равно N + 1, число максимумов равно N – числу полуволн, укладывающихся в длине антенны.