Динамические системы, виды движений во временной области и фазовом пространстве. Грубые динамические

Система наз динамической, если задание начальных условий полностью определяет ее поведение в послед моменты времени. Нединамич сист – сист, в кот-й действ случайные силы, благодаря кот-м точное предсказание поведения делается невозможным. Во многих случаях динам сист. задается сист. обыкн. дифф. ур-ий , i=1,2,..,n. Этой сист. соотв n/2 степеней свободы. Для выдел. конкрет фазовой траектории необх. задание началь. усл: t=t₀, x_n=x_n0. Они выдел. фазовую траект, проход через точку фазов. простр-ва Р₀, имеющую коорд. х₀=(х₁₀, х₂₀, …, х_n0). Более формально дин. сист. принято определ. след. обр. Пусть эволюционный оператор Т^t преобраз некоторое начальное сост. в момент t₀ системы Р₀ в состояние системы

Ниже рассмотрены колебания в динамических системах. Под динамическими понимаются системы различной природы: механические, электрические, биологические и др. процессы, в которых отображаются дифференциальными уравнениями. По виду дифференциальных уравнений динамические системы можно разделить на 3 класса

1) системы с сосредоточенными параметрами, или, коротко, сосре­доточенные системы;

2) системы с отклоняющимся аргументом, наиболее распространенные, из которых - системы с запаздыванием;

3) системы о распределенными параметрами, или распределенные системы.

Сосредоточенные системы - это системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями с единственной независимой пере­менной - временем t. В частности, все механические системы с конечным числом степеней свободы - это сосредоточенные системы.

Системы с отклоняющимся аргументом также отображаются обык­новенными дифференциальными уравнениями, но искомые функции и их производные входят в уравнения при различных значениях аргумента. Так, например, динамическая система первого порядка с постоянным запаздыванием определяется уравнением

Распределённые системы – это системы с бесконечным числом степеней свободы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Примерами могут служить процессы, изучаемые математической физикой: колебание струны и мембраны, диффузия, распространение тепла.

Далее в зависимости от постановки задачи и принятых идеализаций динамическая система может отображаться как линейными, так и нелинейными дифференциальными уравнениями. В первом случае динами­ческую систему называют линейной, во втором - нелинейной.

Наконец, опять-таки в зависимости от вида дифференциальных урав­нений динамические системы разделяются на автономные и неавтономные.

Автономные динамические системы отображаются дифференциальными уравнениями, в которые время t явно не входит. Такими уравнениями описываются свободные (собственные) колебания динамической системы, обусловленные начальным отклонением системы от положения равно­весия/

Неавтономные системы - это динамические системы', в уравнениях движения которых содержится время t в явном виде. Такими уравнениями отображаются вынужденные движения, обусловленные зависящими от вре­мени внешними воздействиями.

Помимо приведенной выше классификации динамических систем по виду дифференциальных уравнений, в теории колебаний принята и другая классификация, которая также будет использована в дальнейшем, — клас­сификация по характеру возможных движений в системе. Именно, дина­мические системы разделяются на консервативные, диссипативные, авто­колебательные и прочие.

Консервативные системы — динамические системы, в которых со­храняется полная энергия. Консервативные системы описываются урав­нениями Гамильтона; это системы без трения, в них нет необратимых превращений энергии движения в тепло. Пример - обычный маятник в пренебрежении трением. В консервативных системах возможны пери­одические колебания с амплитудой, определяемой начальными условиями.

Диссипативные системы — динамические системы, в которых любое движение заканчивается в одном из устойчивых положений равновесия. В таких системах возможны только затухающие движения, которые сопро­ вождаются рассеянием энергии. Пример — маятник или груз на пружине в среде с сопротивлением.

Автоколебательные системы - динамические системы, в которых устанавливается один и тот же периодический режим при любых начальных условиях из некоторого множества начальных условий. Примеры - часовой Механизм, ламповый генератор электромагнитных коле6аний.