Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Для тройных интегралов, как и для двойных, имеют место формулы замены переменных при переходе от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.

Переход от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам (рис. 6.8), связанным с соотношениями

осуществляется по формуле

Выражение называют элементом объема в цилиндрических координатах.

Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату r) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси .

Рис. 6.8. Цилиндрические (слева) и сферические (справа) координаты

Переход от прямоугольных координат к сферическим координатам (рис. 6.8), связанным с соотношениями

осуществляется по формуле

Выражение называют элементом объема в сферических координатах.

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является сферой с центром в начале координат.

Пример. Вычислить тройной интеграл

где – область, ограниченная поверхностями и (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Пример вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах

В данном примере удобно перейти от прямоугольных к цилиндрическим координатам.

Так как область проектируется на плоскость в круг , то угол изменяется в пределах от 0 до , радиус-вектор r изменяется в пределах от 0 до 1. Координата z изменяется от значений для точек, лежащих на параболоиде , до значений для точек, лежащих на плоскости , т.е. .