2015-04-23
8136
Для тройных интегралов, как и для двойных, имеют место формулы замены переменных при переходе от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.
Переход от прямоугольных координат 
к цилиндрическим координатам 
(рис. 6.8), связанным с соотношениями
,
осуществляется по формуле
.
Выражение 
называют элементом объема в цилиндрических координатах.
Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность 
(т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату r) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси 
.
Рис. 6.8. Цилиндрические (слева) и сферические (справа) координаты
Переход от прямоугольных координат к сферическим координатам 
(рис. 6.8), связанным с соотношениями
,
осуществляется по формуле
.
Выражение 
называют элементом объема в сферических координатах.
Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность 
(т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату 
) является сферой с центром в начале координат.
|
|
|
Пример. Вычислить тройной интеграл
,
где 
– область, ограниченная поверхностями 
и 
(рис. 6.9).
Рис. 6.9. Пример вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах
В данном примере удобно перейти от прямоугольных к цилиндрическим координатам.
Так как область проектируется на плоскость 
в круг 
, то угол 
изменяется в пределах от 0 до 
, радиус-вектор r изменяется в пределах от 0 до 1. Координата z изменяется от значений для точек, лежащих на параболоиде 
, до значений для точек, лежащих на плоскости , т.е. 
.
Применяя формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах, получаем
.
