Уравнения Колмогорова

Пусть техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Возможные состояния системы можно перечислить:

S0 – оба узла исправны;

S1 - первый узел ремонтируется, второй исправен;

S2 - второй узел ремонтируется, первый исправен;

S3 – оба узла ремонтируются.

Переходы системы из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или другого узла или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться графом состояний, в котором состояния системы изображаются окружностями, а возможные переходы из состояние в состояние – стрелками, соединяющими состояния.

Буквой i обозначена интенсивность ремонта i-го узла.

Вероятностью i-го состояния называется вероятность Pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для любого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний Pi(t) как функции времени. Для этого составляются и решаются так называемые уравнения Колмогорова - особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.