Задача Эрланга

Рассмотрим одну из первых по времени «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлангом. Задача ставится так: имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания одним каналом имеет интенсивность μ (величина, обратная среднему времени обслуживания tob). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

А – абсолютную пропускную способность, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q – относительную пропускную способность, то есть среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Ротк - вероятность отказа, то есть того, что заявка поки-нет СМО необслуженной;

– среднее число занятых каналов.

Состояние системы массового обслуживания S будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в дан-ном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S0 – в СМО нет ни одной заявки;

S1 - в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

Sk - в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны)

Sn - в СМО находятся n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО выглядит следующим образом:

Найдем Potk - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ. Для этого нужно, чтобы все n каналов были заняты, значит,

Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на Q:

Таким образом, мы нашли интенсивность потока обслуженных системой заявок. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок, то среднее число занятых каналов равно