Формула Литтла

Выведем одну важную формулу, связывающую среднее число заявок Lсист, находящихся в системе массового обслуживания, и среднее время пребывания заявки в системе Wсист.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

Интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, поэтому можно считать:

Разделим правую и левую часть на длину интервала Т, получим с учетом:

Разделим и умножим правую часть на интенсивность :

Но величина есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен ti на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wсист. Итак,

,

откуда

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводим вторую формулу Литтла, связывающую среднее время пребывания заявки в очереди Wоч и среднее число заявок в очереди Lоч: