Основные положения. Архитектура цифровых устройств базируется на многократном повторении относительно простых базовых логических элементов

Архитектура цифровых устройств базируется на многократном повторении относительно простых базовых логических элементов. Связи между этими элементами строятся на основе формальных методов булевой алгебры (названной так по имени автора – английского математика Джорджа Буля, 1815–1864 гг.) или алгебры логики.

В отличие от обычной алгебры булева алгебра оперирует с логическими переменными, которые могут иметь только два значения: логический нуль «0» и логическая единица «1».

В алгебре логики существуют три простейших операции (функции) над логическими переменными:

1. Логическое отрицание, или инверсия – изменяет значение логической переменной на противоположное значение. В булевых выражениях обозначается чертой над переменной: . В схемотехнике устройство, реализующее операцию отрицания, обозначается словом «NOT», в отечественном варианте «НЕТ». В табл. 1.1 приведены все возможные значения логического отрицания;

Таблица 1.1

Таблица истинности операции логического отрицания (инверсии)

Х	Y

2. Логическое умножение, или конъюнкция. Выражение записывается следующим образом или или . Все возможные варианты логического умножения двух переменных приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2.

Таблица истинности операции логического умножения (конъюнкции)

Х₁	Х₂	Y₁

3. Логическое сложение, или дизъюнкция. Выражение записывается следующим образом или . Варианты для двух переменных приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Таблица истинности операции логического сложения (дизъюнкции).

Х₁	Х₂	Y₁

По существу рассмотренные переменные являются булевыми функциями. Первая от одной переменной, последние от двух переменных. Функции, так же как и переменные, могут принимать только два значения «1» и «0».

Для двух переменных существуют 16 функций табл. 1.4.

Таблица 1.4

Булевы функции двух переменных

Функция	Значение функции при:	Обозначение функции	Название функции
Х₁ =0	Х₁ =0	Х₁ =1	Х₁ =1
Х₂ =0	Х₂ =1	Х₂ =0	Х₂ =1
Y₀				0	Константа 0
Y₁				Х₁Х₂	Конъюнкция
Y₂				Х₁DХ₂	Запрет по Х₂
Y₃				Х₁	Переменная Х₁
Y₄				Х₂DХ₁	Запрет по Х ₁
Y₅				Х₂	Переменная Х₂
Y₆				Х₁ÅХ₂	Исключающее ИЛИ
Y₇				Х₁+Х₂	Дизъюнкция
Y₈				Х₁¯Х₂	Стрелка Пирса
Y₉				Х₁~ Х₂	Эквивалентность
Y₁₀					Отрицание Х₂
Y₁₁				Х₂®Х₁	Импликация от Х₂ к Х₁
Y₁₂					Отрицание Х₁
Y₁₃				Х₁®Х₂	Импликация от Х₁ к Х₂
Y₁₄				Х1/Х2	Штрих Шеффера
Y₁₅				1	Константа 1

Для решения конкретных задач могут быть сконструированы новые булевы функции из других булевых функций с помощью суперпозиции. Она состоит в подстановке вместо аргументов других булевых функций. Такая подстановка возможна, так как булевы функции, как и переменные, могут принимать только значения «1» и «0».

В практике, наибольшее применение находят в первую очередь простейшие, а именно Y₁ – конъюнкция и Y₇ – дизъюнкция, а также еще три, полученные путем суперпозиции простейших:

ü - исключающее ИЛИ(«сумма по модулю 2»);

ü - штрих Шиффера («И-НЕ»);

ü - стрелка Пирса («ИЛИ-НЕ»).

В современных условиях для проектирования цифровых устройств на ПЛИС разработчику достаточно знать условные обозначения элементов и их функции. Эти данные представлены в табл.1.5.

Таблица 1.5

Схемные элементы, реализующие логические функции

№ п/п	Название функции	Отечественный вариант	Пакет Quartus II
название элемента	схемное обозначение	название элемента	схемное обозначение
1.		Общий корпус		gnd
2.		+5В, и т.п.		vcc
3.	Х	Повторитель		buf
4.	Инвертирование Х (НЕ)	НЕ		not
5.	Умножение (операция И)	2И, 3И, …		and2, and3, …
6.	Сложение (операция ИЛИ)	2ИЛИ, 3ИЛИ, …		or2, or3, …
7.	Исключающее ИЛИ			xor
8.	Умножение и отрицание (И-НЕ)	2И-НЕ, 3И-НЕ, …		nand2, nand3, …
9.	Сложение и отрицание (ИЛИ-НЕ)	2ИЛИ-НЕ, 3ИЛИ-НЕ, …		nor2, nor3, …

Прежде чем реализовать требуемую функцию с помощью схемных элементов, логическое выражение, представляющее функцию, необходимо привести к виду с минимальным количеством операций. Для этого исходное выражение подвергают преобразованиям в соответствии с законами булевой алгебры. Эти законы, кроме 4 и 5, имеют две формы: для конъюнкции и дизъюнкции. Законы представлены ниже.