2015-04-08
267
1. Вычислить повторные интегралы:
а) 
; б) 
.
2. Вычислить кратные интегралы:
а) 
, где область 
ограничена линиями 
;
б) 
, где область 
ограничена поверхностями
.
1. а) Введем повторный интеграл из условия задачи и вычислим его
>I nt(Int(3*x*y^2+1,y=0..sqrt(x)),x=0..2)= int(int(3*x*y^2+1,y=0..sqrt(x)), x=0..2);
б) Введем повторный интеграл и вычислим его
>Int(Int(Int(4*z^2*x-3*y,z=0..x^2+2*y^2),y=-x..x^2),x=0..1)= int(int(int(4*z^2*x-3*y,z=0..x^2+2*y^2),y=-x..x^2),x=0..1);
2. а) Область интегрирования представляет собой множество 
. Построим область .
> m:=plot([-sqrt(x),x^2],x=1..2,color=[red,red]):
>with(plots):
> k:=implicitplot(x=1,x=1..2,y=-1..1,color=red):
>k1:=implicitplot(x=2,x=1..2,y=-sqrt(2)..4,color=red):
> display([m,k,k1]);
Вычислим двойной интеграл как повторный 
.
>Int(Int(2*x-y,y=-sqrt(x)..x^2),x=1..2)= int(int(2*x-y,y=-sqrt(x)..x^2),x=1..2);
= 
б) Область интегрирования можно задать системой неравенств:
. Построим проекцию области на плоскость 
.
> m:=plot([x+1,x^2],x=0..1,color=[red,red]):
> k:=implicitplot(x=0,x=0..1,y=0..1,color=red):
>k1:=implicitplot(x=1,x=0..1,y=1..2,color=red):
> display([m,k,k1]);
Тогда тройной интеграл сводится к повторному 
.
> Int(Int(Int(3*z-1,z=0..x+y),y=x^2..x+1),x=0..1)= int(int(int(3*z-1,z=0..x+y),y=x^2..x+1),x=0..1);
|
|
|
= 
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение двойного интеграла.
2. В чем состоит геометрический смысл двойного интеграла?
3. Какими свойствами обладает двойной интеграл?
4. Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повторному.
5. Что представляет собой определитель Якоби? Как производится замена переменных в двойном интеграле?
6. Как производится вычисление двойного интеграла в полярных координатах?
7. Сформулируйте определение тройного интеграла.
8. В чем состоит геометрический смысл тройного интеграла?
9. Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному.
10. Как производится вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах?
ПРИЛОЖЕНИЕ
