Экстремум функции двух независимых переменных

Говорят, что функция z = f(x, y) имеет максимум в точке М₀(х₀, у₀), если f(x₀, y₀) > f(x, y) и минимум, если f(x₀, y₀) < f(x, y) для всех точек, достаточно близких к М₀ и отличных от нее. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Экстремумы можно определить и иначе: Положим х = х₀ + Dх и у = у₀ + Dу, тогда f(х+ Dх, у + Dу) – f(х₀, у₀) = Df. Если Df > 0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция f(x, y) достигает минимума в точке М₀. Если Df < 0 при всех достаточно малых приращениях аргументов, то функция f(x, y) достигает максимума в точке М_0.

Определения эти справедливы для функций любого числа переменных. Необходимое условие экстремума можно сформулировать так:

Если функция z = f(x, y) достигает экстремума при х = х₀, у = у₀, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Действительно, если функция z = f(x, y) имеет в некоторой точке М₀(х₀,у₀) экстремум, в этой точке имеют экстремум и функции одной переменной z = f(х₀, у) и z = f(х, у₀) и, соответственно, их производные и в этой точке или равны нулю или не существуют. Точки, в которых выполняются эти условия, называются критическими, и в этих точках может быть (а может и не быть) экстремум. Критические точки, в которых z_x` = 0 и z<sub>у</sub>` = 0 называют стационарными. О наличии экстремума в стационарных точках можно во многих случаях судить на основании следующей теоремы:

Если в некоторой области, содержащей точку М₀(х₀, у₀), функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и точка М₀ является стационарной, то в этой точке:

Функция имеет максимум, если D> 0, а A < 0 или (C < 0)

Функция имеет минимум, если D> 0, а A > 0 или (C > 0)

Функция не имеет экстремума, если D< 0

Если D = 0 – сомнительный случай, требуется дополнительное исследование.

(4.12), где: