2015-04-20
1522
Экстремумы функции нескольких независимых переменных называются абсолютными.
Аргументы функции нескольких переменных могут быть связаны некими соотношениями (условиями). В этом случае экстремумы функции f(x,y) называют условными или относительными. Рассмотрим ситуацию на примере функции двух переменных.
Поставим задачу: найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в некоторой замкнутой области. Задача решается в два этапа. Сначала мы ищем абсолютные экстремумы внутри области. Затем находим условные экстремумы на границах области. (Уравнения границ и есть условия, связывающие аргументы функции f(x,y)). Из найденных значений (абсолютных экстремумов внутри области и условных на границах ее) выбирают наибольшее и наименьшее.
Пусть на плоскости х0у дан треугольник АОВ, образованный осями координат Ох (у = 0), Оу (х = 0) и прямой х + у – 1 = 0. Найдем точку С треугольника, для которой сумма квадратов расстояний ее от вершины треугольника (обозначим ее через Z) была бы наименьшей.
|
|
|
Рис. 4.4
|
Z = OC2 + OB2 + OA2 =
= x2 + y2 + (x – 1)2 + y2 + x2 + (y – 1)
откуда Z = 2x2 + 2y2 + (x – 1)2 + (y – 1)2
Найдем абсолютные экстремумы внутри
рассматриваемой области.
 4х + 2(х – 1) = 6х – 2;
 4у + 2 (у – 1) = 6у – 2
|
∆ = АС – В2 = 36 > 0; А > 0 и, следовательно, в точке 
функция
Z = f(x,y) имеет минимум 
.
Найдём условные экстремумы на границах области.
1. Прямая ОА; у=0; 
Подставляя уравнение границы в 
получим функцию одной переменной 
и найдём её экстремум 
Критическая точка: 
2. Прямая ОВ; х=0; 
Критическая точка 
3. Прямая АВ; 
; 
Критическая точка 
Сравнивая полученные значения абсолютного и условных экстремумов находим наименьшее значение функции в замкнутой области 
.
Рассмотренный способ отыскания условного экстремума не всегда пригоден. (Например, если уравнение границы области задано неявной функцией 
, неразрешимой относительно переменных). В этом случае целесообразно использовать способ множителей Лагранжа. Рассмотрим его на примере функции двух переменных.
Найдём экстремум функции (1) при условии, что х и у связаны уравнением 
(2). Напомним, что при значениях х, соответствующих стационарным точкам, 
. Найдём 
помня, что у есть функция от х: 
В точках экстремума 
(3). Из (2) находим 
(4). Это равенство справедливо для всех х и у, удовлетворяющих (2). Умножив (4) на неопределённый коэффициент 
(его и называют м ножителем Лагранжа) и сложив результат с (3) получим:
, 
(5).
Это равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберём l так, чтобы в точках экстремума функции z, вторая скобка в (5) обратилась в нуль. (Без потери общности полагаем, что в критических точках 
). Тогда (при значениях х и у соответствующих экстремумам) из (5) следует равенство 
.
|
|
|
Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными 
(6) Левые части уравнений системы (6) представляют собой частные производные функции 
(7) по переменным х, у, l. Уравнения системы являются необходимыми условиями относительногоэкстремума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области надо:
1. Найти стационарные точки и вычислить значения функции в них.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.
3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Рассмотренный метод исследования на условный экстремум легко распространяется на функции произвольного числа переменных.
Пример: Из данного куска жести площадью 2а надо сделать закрытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда максимального объёма, т.е. надо найти максимум функции 
, где (
- размеры) при условии что 
(10). Составим вспомогательную функцию 
. Найдя её частные производные и приравняв их нулю получим ещё три уравнения (относительно и l).
.
|
. Подставляя в (11) получим:
х, у, z по смыслу задачи отличны от нуля, следовательно,
. Из первых двух уравнений находим х = у, из второго и третьего у = z. Из (10) получим 
. Это единственная система значений х, у, z при которых может быть максимум или минимум. Из геометрических соображений очевидно, что это максимум (набор единствен, размер коробки ограничен и при каких-то размерах максимален).
