Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей п несовместных событий

Вероятность суммы несовместных событий A ₁, A ₂, …, A_n равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Если обозначить , , то формула примет вид:

Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие – понятие о независимых и зависимых событиях.

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

Пример 1.28. Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Рассматриваются события: A - «появление герба на первой монете», B - «появление герба на второй монете». В данном случае вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет, событие A независимо от события B.

Пример 1.29. В ящике два белых шара и один черный, два лица вынимают из ящика по одному шару. рассматриваются события: A - «появление белого шара у 1-го лица», B - «появление белого шара у 2-го лица». Вероятность события A до того, как известно что-либо о событии B, равна . Если стало известно, что событие B произошло, то вероятность события A становится равной , из чего заключаем, что событие A зависит от события B.

Вероятность события B при условии, что произошло событие A, называется условной вероятностью события B и обозначается P_A (B).

Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

или

Условная вероятность исчисляется по следующей формуле:

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

P (AB) = P (A) · P (B).

Теорема умножения вероятностей n зависимых событий

Вероятность произведения n зависимых событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступят:

События A ₁, A ₂, …, A_n называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления любого из них не зависит от того, наступила или нет любая комбинация остальных.

Теорема умножения вероятностей n независимых событий

Если события A ₁, A ₂, …, A_n независимы в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

или

Если независимые события A ₁, A ₂, …, A_n имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой