Устойчивость решения задачи Коши

1 2 3 4

Наряду с уравнением (2.1) рассмотрим задачу

, (2.2)

где - возмущения”, вносимые в правую часть уравнения (2.1) и начальные условия.

Задача Коши (2.1) абсолютно устойчива [4], если такое, что из условия следует .

Иначе говоря, решение устойчиво, если “возмущенное” решение “не слишком сильно” отличается от исходного.

Рассмотрим условия устойчивости решения по начальному условию, то есть положим .

Оценим погрешность решения

. (2.3)

Для этого, вычитая уравнение (2.1) из выражения (2.2), получаем:

Воспользовавшись теоремой Лагранжа о среднем, для правой части последнего выражения получим:

Решаем полученное дифференциальное уравнение

разделяя переменные:

Очевидно, что погрешность z(t) не будет возрастать, если . Но это возможно в том случае, когда . Поскольку это требование должно выполняться для любого значения x, необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие .

Пример 2.1. Расмотрим задачу: .

Точное решение этого уравнения имеет вид . В случае k < 0 условие устойчивости выполняется:

и различие между решениями уменьшается с увеличением значения аргумента (рис. 2.1а).

При k > 0 условие устойчивости не выполняется:

и различие между решениями увеличивается с ростом аргумента x (рис. 2.1б).

а б

Рис. 2.1. Примеры сходимости (а) и расходимости (б) решений действительного (нижние кривые) и возмущенного при начальных условиях (верхние кривые).

Метод Пикара [4]

Проинтегрируем уравнение (2.1) с помощью разделения переменных:

. (2.4)

Используя последнее соотношение, построим итерационный процесс:

, (2.5)

при этом в качестве “нулевого” приближения выбирается .

Интеграл в правой части процедуры (2.4) вычисляется точно или численно.

Пример 2.2. Найдем методом Пикара решение уравнения .

Начальное приближение, в соответствии с идеей метода, .

Первое приближение:

Аналогично определяются второе

третье

четвертое

приближения, и так далее. Становится очевидным, что получаемая последовательность решений представляет собой частичные суммы разложения в ряд Тэйлора экспоненты , являющейся точным решением поставленной задачи.