double arrow

Профильный уровень

1

Профильный уровень

Вариант 1

16.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, имеют общую сто­ро­ну и рав­ные сто­ро­ны и сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны по двум ка­те­там, зна­чит, Рас­смот­рим тре­уголь­ник вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой ко­си­ну­сов найдём ко­си­нус угла

Из тре­уголь­ни­ка найдём сто­ро­ну

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Найдём ко­си­нус угла

Из тре­уголь­ни­ка найдём сто­ро­ну

В тре­уголь­ни­ке сле­до­ва­тель­но, он рав­но­бед­рен­ный, углы при ос­но­ва­нии равны. Угол равен 60°, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний,

Найдём ко­си­нус угла

Сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние, найдём его пло­щадь:

Ответ:

21.

1. Сразу за­ме­тим, что урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень Сле­до­ва­тель­но, фор­му­ла об­ще­го члена по­сле­до­ва­тель­но­сти имеет вид

Для от­ве­та на пер­вый во­прос за­ме­тим, что тогда число со­дер­жит в де­ся­тич­ной за­пи­си более семи цифр. Легко убе­дитьcя, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет число то есть




2. Число будет со­дер­жать среди де­ли­те­лей ровно 8 чле­нов дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти в слу­чае, если его де­ли­те­ля­ми яв­ля­ют­ся пер­вые 8 чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти, а де­вя­тый уже не яв­ля­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое на­ту­раль­ное число долж­но де­лить­ся на Для того, чтобы оно было наи­мень­шим, оно не долж­но иметь дру­гих де­ли­те­лей, то есть это число 6561.

3. Нет. Пред­по­ло­жим, что такой набор су­ще­ству­ет, то есть при не­ко­то­рых зна­че­ни­ях и имеет место ра­вен­ство

По фор­му­ле суммы гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем 3 свер­нем левую часть по­след­не­го ра­вен­ства. Тогда по­лу­ча­ем ра­вен­ство или От­сю­да по­лу­ча­ем ра­вен­ство По­след­нее ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко при вы­пол­не­нии усло­вий и (иначе пра­вая часть равна 1, а левая де­лит­ся на 3), что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

4. Да, су­ще­ству­ет. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет любой набор, со­дер­жа­щий чле­нов (в том числе и 2012 чле­нов) по­сле­до­ва­тель­но­сти, каж­дый из ко­то­рых имеет вид Тогда любой набор со­дер­жит ми­ни­маль­ное число, ко­то­рое при сум­ми­ро­ва­нии можно вы­не­сти за скоб­ки и по­лу­чит­ся вы­ра­же­ние вида ко­то­рое не яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

Профильный уровень

Вариант 2

21.

Ре­ше­ние.

а) Ясно, что ко­ли­че­ство тре­уголь­ни­ков не может быть боль­ше числа со­че­та­ний из вось­ми по три, а



б) Пусть длины от­рез­ков такие: 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 6. Тогда воз­мож­но ровно 55 тре­уголь­ни­ков (из 56 воз­мож­ных со­че­та­ний не го­дит­ся толь­ко одно: 6, 14, 20. Для всех осталь­ных не­ра­вен­ство тре­уголь­ни­ка вы­пол­не­но).

в) До­ка­жем, что не го­дит­ся. Пусть длины от­рез­ков равны Если ни од­но­го тре­уголь­ни­ка со­ста­вить нель­зя, то Ана­ло­гич­но, зна­чит Тогда зна­чит, Про­дол­жая це­поч­ку, по­лу­чим: Зна­чит, не мень­ше 21. Про­ти­во­ре­чие.

При­ве­дем при­мер с Ис­поль­зуя преды­ду­щее рас­суж­де­ние по­лу­ча­ем такой набор:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 20. Един­ствен­ный воз­мож­ный тре­уголь­ник — это 8, 13, 20.

Ответ: а) Нет; б) Да; в) 1.



1




Сейчас читают про: