Ответ: 2400000,3600000

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ верно построена и исследована математическая модель, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

a + = 2a + 3 имеет единственный корень.

21. Набор состоит из 37 натуральных чисел, среди которых есть числа 4, 5 и 6. Среднее арифметическое любых 32 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 15 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 15 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 33.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение в п. а, – пример в п. б, – искомая оценка в п. в, – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

вариант 3

15.а) Решите уравнение: cos 2x =1- cos ( -x),

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ - ; - П).

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

16.В правильной четырёхугольной призме АВСД , стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра равны 5, найдите угол между прямой А и плоскостью ВД .

17. Решите неравенство: 7 () ≤ 8+ .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точек x=3, x=4, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

18. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке В, а вторую – в точке С.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

б) Найдите отношение BP: PC, если радиус первой окружности, втрое больше радиуса второй.

Ответ .

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

19. Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Сумма кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).
Через год долг банку увеличится ровно в (а) раз и станет равным (4а) рублей.
Поделим его на 4 части, вернём (3а) рублей и останемся должны (а) рублей.
Известно, что к концу следующего года придётся выплатить (4·1,21) рублей.
Известно, что и сумма долга за год превратилась из числа (а) в число (а²).
Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то
а² = 4·1,21
а = 2·1,1
а = 2,2
Коэффициент (а) означает то, что 100% за год превращаются в 220%.
А это означает, что процент годовых у банка такой: (220% - 100%)
Ответ: 120%

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ верно построена и исследована математическая модель, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

20. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

21. Набор состоит из 37 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 6. Среднее арифметическое любых 30 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 15 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 15 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 31.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение в п. а, – пример в п. б, – искомая оценка в п. в, – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

вариант 4

15.а) Решите уравнение: cos( + 2x) = ·cosx,

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ -4П; -3П].

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

16.В правильной шестиугольной призме ABCDEF , все стороны основания которой равны 3, а боковые рёбра 4, найдите расстояние от точки С до прямой .

тогда = .

Ответ: = .

17. Решите неравенство: 9 () ≤ 10+ .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точек x=-1, x=4, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

18. Медиана А С треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки , , – середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника АВС.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон шестиугольника, если известно, что АВ = 4,

ВС = 7, АС = 8.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

19. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ верно построена и исследована математическая модель, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение a + = 4a + 2

Имеет единственный корень.

21. Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение в п. а, – пример в п. б, – искомая оценка в п. в, – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл