2015-04-30
1438
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ верно построена и исследована математическая модель, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
a 
+ 
= 2a + 3 имеет единственный корень.
21. Набор состоит из 37 натуральных чисел, среди которых есть числа 4, 5 и 6. Среднее арифметическое любых 32 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 15 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 15 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 33.
| Содержание критерия | Баллы |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение в п. а, – пример в п. б, – искомая оценка в п. в, – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
вариант 3
15.а) Решите уравнение: cos 2x =1- cos ( 
-x),
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ - 
; - П).
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
16.В правильной четырёхугольной призме АВСД 
, стороны основания которой равны 2, а боковые рёбра равны 5, найдите угол между прямой А 
и плоскостью ВД 
.
17. Решите неравенство: 7 
(
) ≤ 8+ 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точек x=3, x=4, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
18. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке В, а вторую – в точке С.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.
б) Найдите отношение BP: PC, если радиус первой окружности, втрое больше радиуса второй.
Ответ 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
19. Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение:
Сумма кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).
Через год долг банку увеличится ровно в (а) раз и станет равным (4а) рублей.
Поделим его на 4 части, вернём (3а) рублей и останемся должны (а) рублей.
Известно, что к концу следующего года придётся выплатить (4·1,21) рублей.
Известно, что и сумма долга за год превратилась из числа (а) в число (а2).
Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то
а2 = 4·1,21
а = 2·1,1
а = 2,2
Коэффициент (а) означает то, что 100% за год превращаются в 220%.
А это означает, что процент годовых у банка такой: (220% - 100%)
Ответ: 120%
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ верно построена и исследована математическая модель, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
20. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
21. Набор состоит из 37 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 6. Среднее арифметическое любых 30 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 15 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 15 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 31.
| Содержание критерия | Баллы |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение в п. а, – пример в п. б, – искомая оценка в п. в, – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
вариант 4
15.а) Решите уравнение: cos( 
+ 2x) = 
·cosx,
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ -4П; -3П].
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
16.В правильной шестиугольной призме ABCDEF 
, все стороны основания которой равны 3, а боковые рёбра 4, найдите расстояние от точки С до прямой 
.
тогда 
= 
.
Ответ: = .
17. Решите неравенство: 9 
(
) ≤ 10+ 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением точек x=-1, x=4, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
18. Медиана А 
С 
треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки 
, 
, 
– середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника 
вдвое меньше площади треугольника АВС.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон шестиугольника, если известно, что АВ = 4,
ВС = 7, АС = 8.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
19. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ верно построена и исследована математическая модель, получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение a 
+ 
= 4a + 2
Имеет единственный корень.
21. Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.
| Содержание критерия | Баллы |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение в п. а, – пример в п. б, – искомая оценка в п. в, – пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
