Пример выполнения задания №2

В теории потребления предполагается, что потребитель всегда

стремиться максимизировать свою полезность и ограничением для него является величина дохода I, которую он может потратить на приобретение набора товаров. В задаче потребительского выбора необходимо найти такой набор , для которого

Поиск оптимального набора графически можно изобразить

как последовательный переход на кривые безразличия более высокого уровня полезности (рис. 1) вправо и вверх до тех пор, пока эти кривые имеют общие точки с бюджетным множеством.

Для решения задачи используется метод Лагранжа. Составляется

функция Лагранжа:

где — множитель Лагранжа.

Для нахождения максимума функции приравняют к нулю все три частные производные этой функции, получается система уравнений:

Исключив из этих уравнений получают систему двух уравнений с

неизвестными :

Из системы находится точка — решение задачи

потребительского выбора.

Пример. Функция полезности имеет вид Найти наилучший набор , если цена на товар равна д.е., на товар равна д.е., а доход составляет I = 400 д.е.

Решение. Дифференцируя функцию полезности, получим

Подставляя выражения и , получим систему

То есть

Из первого уравнения следует, что затраты денежных средств на

оба товара должны быть одинаковыми, так как Из второго уравнения получаем, что функция спроса, задающая оптимальное количество товаров

Т.е.

Таким образом, расход на каждый товар составляет половину

дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.

Пример решения задачи №3 (Можно найти в учебнике библиотеки МИРа) Математика в экономике: Учебник: в 2-х ч. А.С.Солодовников, В.А.Бабайцев,

А.В. Браилов и др. – М.: Финансы и статистика, 2006. Ч.1)

Дана экономическая система из трех отраслей с матрицей прямых затрат

А = и вектор норм добавленной стоимости .

Модель равновесных цен по известным величинам норм добавленной стоимости позволяет прогнозировать цены на продукцию отраслей . Используется двойственная к модели Леонтьева модель равновесных цен . Для решения этого матричного уравнения запишем транспонированную матрицу прямых затрат = .

После вычитания из единичной матрицы по алгоритму нахождения обратной матрицы при помощи алгебраических дополнений (/1/,часть 1, стр 93) составим транспонированную матрицу полных затрат = . В результате вычислений получим = . Остается перемножить эту матрицу на вектор норм добавленной стоимости . Получим

Задание № 4 выполняется самостоятельно по рекомендуемой литературе. Самостоятельная работа характеризует высокую степень освоения компетенций образовательного стандарта. Материалы можно найти в учебнике. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.2-е изд. – М.: МГУ им. Ломоносова, Изд. «Дело и Сервис», 1999 и другие годы издания. – 368