Численное интегрирование

Краткая теория:

Наиболее распространенным подходом к численному вычислению интеграла является разбиение отрезка [a, b] на n равных частей а = х₀ < х₁<... < х_n = b c шагом h, интерполирование функции y =f(x) на отрезке [a,b] и замена интеграла интегральной суммой:

,

где a_i ¾ числовые коэффициенты.

В простейших случаях в качестве интерполяционного многочлена φ(x) берут ступенчатую, кусочно-линейную или кусочно-параболическую функции и др.

Для вычисления значения интегралов используют формулы:

1. формула прямоугольников:

- по левым точкам

- по правым точкам

- по средним точкам

1. формула трапеций:

1. формула Симпсона (n - четное число):

Решение задачи:

Найти интеграл функции, полученной в п.3, на отрезке [0,8] методом трапеций. Оценить погрешность.

Решение:

а) По условию задачи:

хi	y
	-4.4
	4.6
	-1.7
	-10

Тогда по методу трапеций можно получить значение интеграла:

б) Метод трапеций по интерполяционному многочлену Лагранжа:

в) Метод трапеций по аппроксимации методом наименьших квадратов:

Аналогично п.5, если из условия задачи следует, что за реальное поведение системы можно принять поведение системы, описываемое с помощью аппроксимирующей функции (см. п.4), то реальное значение интеграла функции на данном отрезке можно рассчитать как интеграл аппроксимирующей функции на данном отрезке:

Вычисление погрешности:

а)

б)

в)