Расчет показателей вариации

Для характеристики структуры вариации рассчитываем структурные средние: моду и медиану.

Мода - значение признака, которое наиболее часто встречается в ряду распределения. Для интервального ряда мода определяется по наибольшей частоте. Мода находится по формуле:

где x₀ - нижняя (начальная) граница модального интервала;

k - величина интервала;

f_Mo - частота модального интервала;

f_Mo_-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo₊₁ - частота интервала, следующего за модальным.

М₀ = 141 + 1628,3*(25 - 0) / ((25 - 0) + (25 - 1)) = 971,77 млн.руб.

Медиана - значение признака, которое делит совокупность на две равные части, т.е. 50% единиц совокупности имеют значение меньше медианы, а остальные - больше медианы.

Для определения медианы рассчитывается ее порядковый номер по формуле:

= 31 / 2 = 15,5

где n - число единиц совокупности.

Затем рассчитывается накопленные частоты. После смотрят, какая из накопленных частот впервые превышает номер медианы.

Медиану рассчитывают по формуле:

где x₀ - нижняя граница медианного интервала;

k - величина интервала;

∑f = n - число единиц совокупности;

S_Me_-1 - накопленная частота (кумулятивная частота) интервала, предшествующего медианному;

f_Me - медианная частота.

Ме = 141 + 1628,3 * (15 - 0) / 25 = 1117,98 млн.руб. - данная величина чистых активов находится в середине совокупности.

Степень близости данных отдельных единиц совокупности к средней величине измеряется рядом абсолютных и относительных показателей вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся:

размах вариации;

среднее линейное отклонение;

дисперсия;

среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака совокупности, и находится по формуле:

R = 9911 - 141 = 9770 млн.руб.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину из отклонений значений признака от их средней величины, которое рассчитывается по формуле:

= 1688,6 млн.руб.

Так же среднее линейное отклонение можно рассчитать по формуле

В таблице 3 представлены дополнительные расчеты для исчисления показателей вариации

Таблица 3 - Дополнительные расчеты для исчисления показателей вариации

№ группы	Величина чистых активов, млн.руб.	Число банков,шт, f_i	Средняя величина интервала, млн.руб.	\|х-х_ср\|	\|х-х_ср\|*f_i	(х-х_ср)²*f_i
	141 - 1769,3		955,15	568,0	14199,71	8065268,67
	1769 - 3397,6		2583,15	1060,0	1060,012	1123624,73
	3397,6 - 5025,9		4211,75	2688,6	2688,612	7228632,69
	5025,9 - 6654,2			1523,1		0,00
	6654,2 -8282,5		7468,35	5945,2	5945,212	35345541,76
	8282,5 - 9911		9096,65	7573,5	15147,02	114716157,93
	Итого			19358,5	39040,6	166479225,79
	Среднее			645,3	1301,4	5549307,53

d = 1301,4 млн.руб.

Таким образом, средняя величина отклонений значений величины чистых вложений от их средней составляет 1301,4 млн. руб.

Дисперсия - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия находится по формуле:

-простая (невзвешенная) дисперсия

- дисперсия взвешенная

σ² = 5 895 974,6 - невзвешенная дисперсия

σ² = 5 549 307,53 млн.руб.² - взвешенная дисперсия

Таким образом, средний квадрат отклонений индивидуальных значений величины чистого капитала от их средней величины составляет 5 549 307,53 млн. руб.²

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е. корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Среднее квадратическое отклонение находится по формуле:

Найдем среднее квадратическое отклонение по объему кредитных вложений:

= 2628,16 млн.руб. - невзвешенное значение

= 2355,7 (млн. руб.) - взвешенное значение

Относительные показатели вариации в общем виде показывают отношение абсолютных показателей вариации к их средней величине.

К относительным показателям вариации относятся:

коэффициент осцилляции;

относительное линейное отклонение;

коэффициент вариации.

Коэффициент осцилляции находится по формуле:

Коэффициент осцилляции для выборки по величине чистых активов равен:

V_R = 9770 / 1528 * 100% = 639,4 %

Относительное линейное отклонение рассчитывается по формуле:

Относительное линейное отклонение для выборки величине чистых активов равно:

V_D = 1688,6 / 1528 * 100% = 110,5%

V_D = 1301,4/ 1528 * 100% = 85,2%

Коэффициент вариации характеризует однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации меньше либо равен 33%, иначе признается неоднородной. Коэффициент вариации определяется по формуле:

Тогда, коэффициент вариации для выборки по величине чистых активов равен:

V_σ = 2628,16 / 1528 * 100% = 172%

V_σ = 2355,7 / 1528 * 100% = 154,17%

Коэффициент вариации для выборки по величине чистых активов больше, чем 33%, следовательно, совокупность неоднородна, а это означает, что среднее значение признака не является центром распределения.

Оценка параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных

Расхождение между генеральной и выборочной совокупностями измеряется средней ошибкой выборки, которая рассчитывается следующим образом:

где n - число единиц в выборочной совокупности;

N - число единиц в генеральной совокупности.

Среднюю ошибку необходимо знать для того, чтобы определить возможные пределы для средней генеральной совокупности

Суждение о том, что средняя в генеральной совокупности будет лежать в пределах можно гарантировать не с абсолютной точностью, а с некоторой вероятностью.

Для этого рассчитывают предельную ошибку выборки по формуле:

где t - коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам.

Таким образом, показатели генеральной совокупности для генеральной средней при заданной вероятности определяются по показателям выборочной совокупности следующим образом: