Взаимное расположение шара и плоскости

Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то:

1) при d>R плоскость не пересекает шара;

2) при d = R плоскость касается шара в одной точке, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;

3) при d<R плоскость пересекает шар по окружности, цент­ром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, а радиус равен .

В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пере­секает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, про­ходящими через его центр, называются большими кругами шара.

Для наглядности вышеизложенного материала я предлагаю решить две небольшие задачи.

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельны­ми плоскостями имеют радиусы, равные 6 cми 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R₁ и R₂. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO₁ (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО₂ находится по трем сторонам 00₁ = d, R₁R₂ и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пе­ресечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем слу­чае она будет называться касатель­ной к шару.