Ортогональное проецирование на взаимно-перпендикулярные плоскостипроекций. Комплексный чертеж

Сущность данного способа получения обратимого чертежа состоит в ортогональном проецировании заданного объекта на две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций, что позволяет по двум проекциям восстановить его форму и размеры.

На рис. 3, а представлена пространственная модель простейшей геометрической фигуры – точки, ортогональные проекции которой построены на двух взаимно-перпендикулярных плоскостях проекций, где:

Π₁ – горизонтальная плоскость проекций;

Π₂ – фронтальная плоскость проекций;

x₁₂ – ось проекций;

A – заданная геометрическая фигура – точка;

A₁ – горизонтальная проекция точки A;

A₂ – фронтальная проекция точки A;

p и l – проецирующие прямые, перпендикулярные соответственно плоскостям проекций Π₁ и Π₂.

Отрезки A₁A₁₂ и A₂A₁₂, связывающие проекции A₁ и A₂ точки A,перпендикулярны оси проекций x₁₂. Действительно, если p ^ Π₁, то p ^ x₁₂. Следовательно, A₂A₁₂ ^ x₁₂, так как p || A₂A_{12 .} Аналогично можно доказать, что A₁A₁₂ ^ x_12.

Величины отрезков A₁A₁₂ и A₂A₁₂ равны расстояниям от точки A до плоскостей проекций соответственно Π₂ и Π₁ (см. рис. 3, а), так как AA₂ || Π₁ и AA₁ || Π₂,что вытекает из геометрических закономерностей данного способа проецирования.

Плоскости проекций, пересекаясь между собой, делят пространство на четыре части, называемые четвертями или квадрантами, которые принято нумеровать так, как показано на рис. 3, а. Каждая часть пространства ограничена двумя полуплоскостями, которые называют для плоскости проекций Π₁ – передняя и задняя, а для плоскости Π₂ – верхняя и нижняя. Рассматриваемый объект может теоретически быть помещен в любую часть пространства, в отличие от «наблюдателя», который всегда находится в первой четверти.

Рис. 3

Построенная таким образом пространственная модель с практической точки зрения неудобна, вследствие ее громоздкости и искажения форм и размеров проецируемого объекта.

Г. Монж предложил преобразовать эту модель в плоскую совмещением плоскостей проекций в одну плоскость, где присутствуют только изображения проецируемого объекта. Такое преобразование принято осуществлять поворотом горизонтальной плоскости проекций Π₁ вокруг оси x₁₂, как показано стрелками на рис. 3, а, до совмещения ее с неподвижной фронтальной плоскостью проекций Π₂.

На рис. 3, б представлена плоская модель пространства, с изображенными на ней проекциями A₁ и A₂ заданной точки A. Такую модель называют комплексным чертежом (или эпюром) проецируемой геометрической фигуры – точки A. Прямую, соединяющую проекции A₁ и A₂ называют линией связи.

Комплексный чертеж является обратимым, достаточно простым и практически ненаглядным. В большинстве случаях отсутствие наглядности компенсируется наличием пространственного воображения, т. е. свойством человеческого сознания воспроизводить пространственный образ объекта по его проекциям.

В инженерной практике часто возникает необходимость построения чертежа (детали, сборочной единицы и др.), состоящего из трех и более проекционных изображений. Механизм образования комплексного чертежа в этом случае точно такой же, как и для двух плоскостей проекций.

На рис. 4, а представлена пространственная модель, состоящая из трех взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций – горизонтальной (Π₁), фронтальной (Π₂) и профильной (Π₃). Очевидно, что эти плоскости образуют три пары взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций - Π₁ ^ Π₂, Π₁ ^ Π₃ и Π₂ ^ Π_3.

Рис. 4

Плоскости Π₁ и Π₂ пересекаются с профильной плоскостью Π₃ по осям проекций, обозначать которые принято соответственно y₁₃ и z₂₃. Геометрические закономерности в системах Π₁ ^ Π₃ и Π₂ ^ Π₃ такие же, как и в системе Π₁ ^ Π₂.

Комплексный чертеж в данном случае образуется совмещением плоскостей Π₁ и Π₃ с фронтальной плоскостью проекций Π₂ вращением их вокруг соответствующих осей проекций (x₁₂ и z₂₃), как показано стрелками на рис. 4, а.

Построение профильной проекции (A₃) точки A показано на пространственной модели (см. рис. 4, а) в системе плоскостей проекций Π₂ ^ Π₃ и комплексном чертеже (рис. 4, б).

Другой путь построения проекции A₃ точки A возможен через систему плоскостей проекций Π₁ ^ Π₃, что менее рационально вследствие «раздвоения» оси проекций y₁₃ при образовании комплексного чертежа и как следствие разрыв линии связи проекций A₁ и A₃ , что видно на рис. 4, б.

В конструкторской практике часто возникает ситуация, когда необходимо иметь связь между графическими и аналитическими моделями геометрических фигур. В этом случае декартову систему координат объединяют с пространственной моделью (рис. 5, а), что позволяет легко строить на комплексном чертеже геометрические фигуры, заданные аналитически.

Построение проекций А₁, А₂ и А₃ точки A по ее координатам (x_A, y_A, z_A) показано на рис. 5, б.

Рис. 5