Определенный интеграл
Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:
1) разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;
2) в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;
3) найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;
4) составим сумму
, (1)
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;
5) найдем предел интегральной суммы, когда .
Рис. 1
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .
Таким образом, .
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.