2015-05-05
400
Определенный интеграл
Пусть функция 
определена на отрезке 
, 
. Выполним следующие операции:
1) разобьем отрезок 
точками 
на n частичных отрезков 
;
2) в каждом из частичных отрезков 
, 
выберем произвольную точку 
и вычислим значение функции в этой точке: 
;
3) найдем произведения 
, где 
– длина частичного отрезка , ;
4) составим сумму
, (1)
которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма 
представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки 
, а высоты равны 
соответственно (рис. 1). Обозначим через 
длину наибольшего частичного отрезка 
;
5) найдем предел интегральной суммы, когда 
.
Рис. 1
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек 
в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается 
.
Таким образом, 
.
В этом случае функция 
называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, 
– подынтегральным выражением, 
– переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
