2015-05-05
1055
Теорема 3. Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
. Тогда, если: 1) функция 
и ее производная 
непрерывны при 
; 2) множеством значений функции 
при является отрезок ; 3) 
, 
, то справедлива формула
, (3)
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования 
и 
(для этого надо решить относительно переменной t уравнения 
и 
)).
На практике часто вместо подстановки используют подстановку 
. В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: 
, 
.
Пример 3. Вычислить интеграл 
Решение. Введем новую переменную по формуле 
. Определим 
и 
. Возведя в квадрат обе части равенства , получим 
, откуда 
. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы 
и 
. Получим: 
, откуда 
и, следовательно, 
; 
, откуда 
и, следовательно, 
. Таким образом:
.
Пример 4. Вычислить интеграл 
.
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим 
, откуда 
, 
. Найдем новые пределы интегрирования: если 
, то 
; если 
, то 
. Значит, 
. Следовательно:
.
Пример 5. Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
, тогда 
, откуда 
. Находим новые пределы интегрирования: 
; 
. Имеем: 
. Следовательно:
.
