Интегрирование по частям. Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке

Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

Доказательство

Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

,

откуда

.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим

.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Полагая , определяем . Следовательно:

[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = =

.

Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы