Формула Ньютона–Лейбница. Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .