Виды случайных событий

1. События называют несовместными, если появле­ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

~ Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События € появилась стандартная деталь” и с появилась не­стандартная деталь” – несовместные.

~ Брошена монета. Появление “герба” исключает по­явление надписи. События “появился герб” и “появилась надпись” – несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

В частности, если события, образующие полную группу, попарно несов­местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Примеры:

~ Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:

1. “выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй”,

2. “выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй”,

3. “выигрыш выпал на оба билета”,

4. “на оба билета выигрыш не выпал”.

Эти события обра­зуют полную группу попарно несовместных событий,

~ Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои­зойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события также образуют полную группу.

2. События называют равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Примеры:

~ Появление “герба” и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

~ Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Действительно, предпо­лагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказы­вает влияния на выпадение любой грани.

3. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти

4. Событие называется не достоверным, если оно не может произойти.

5. Событие называются противоположным к некоторому событию, если оно состоит из не появления данного события. Противоположные события не совместимые, но одно из них должно обязательно произойти. Противоположные события принято обозначать как отрицания, т.е. над буквой пишется черточка. События противоположные: А и Ā; U и Ū и т.д..

Классическое определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей.

Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас­сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе­ния и приведем другие определения, позволяющие пре­одолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим ситуацию: В ящике содержится 6 оди­наковых шаров, причем 2 – красные, 3- синие и 1-белый. Очевидно, возмож­ность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появления – цветного шара).

Вероятность – число, характеризующее степень воз­можности появления события.

В рассматриваемой ситуации обозначим:

Событие А =”Вытаскивание цветного шара”.

Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным (возможным) исходом и событием. Элементарные исходы можно обозначать буквами с индексами внизу, например: k₁, k₂.

В нашем примере 6 шаров, поэтому 6 возможных исходов: появился белый шар; появился красный шар; появился синий шар и т.д. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими исходами этому событию. В нашем примере благоприятствуют со­бытию А (появлению цветного шара) следующие 5 исхо­дов:

Таким образом, событие А наблюдается, если в испы­тании наступает один, безразлично какой, из элементар­ных исходов, благоприятствующих А. Это появление любого цветного шара, которых в ящике 5 штук

Вероят­ностью события А будем считать число, равное отношению количества благоприятствующих событию А эле­ментарных исходов к их общему количеству. Обозначают Р(А)

В рассмат­риваемом примере элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)= 5/6. Это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара.

Определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А)=m/n или Р(А)=m: n, где:

m -число элементарных исходов, благоприятствую­щих А;

п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы не­совместные, равновозможные и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае m = n следовательно, p=1

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, p=0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей. 0<p(n)<1. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. В этом случае 0 < т < n.

В последующих темах будут приведены теоремы, которые позволяют по из­вестным вероятностям одних событий находить вероятно­сти других событий.

Промер. В группе студентов 6 девушек и 4 юношей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент будет девушка? будет юноша?

p_дев = 6 / 10 =0,6 p_юн = 4 / 10 = 0,4

Понятие “вероятность” в современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Рассмотрим некоторые моменты такого подхода.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий: w_i (i=1, 2, …. п). События w_i,- называется элементарными событиями (элементарными исходами). О тсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Ω (греческая буква омега заглавная), а сами элементарные собы­тия – точками этого пространства..

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Ω), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Ω_, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т, д. Таким образом, множества всех со­бытий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Ω, Само Ω наступает при любом исходе испытания, поэтому Ω – достоверное событие; пустое подмножество пространства Ω- -невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, ‘по каждое из них содержит только один элемент Ω

Каждому элементарному исходу w_i ставят в соответствие поло­жительное число р_i - вероятность этого исхода, причем сумма всех р_i равна 1 или со знаком суммы этот факт запишется в виде выражения:

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероят­ностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Поэтому вероятность события достоверного равна единице, не­возможного – нулю, произвольного – заключена между нулем и еди­ницей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновоз­можные, Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/п. Пусть событию А благоприятствует m исходов.

Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Получено классическое определение вероятности.

Существует еще аксиоматический подход к понятию “вероятность”. В системе аксиом, предложенной. Колмогоровым А. Н, неопре­деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно­сти.

Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицатель­ное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов­местных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей к зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Ограниченность классического определения вероятности.

1. Классический способ опре­деления вероятности не применим к бесконечным множествам. событий (исходов).

2. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий.

3. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равно возможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате­риала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.

В связи с этим рассматриваются иные способы вычисления вероятностей. К таковым относятся статистический способ вычисления вероятности и геометрическая вероятность, с которыми мы будем знакомиться в дальнейшем. состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям

Статистический способ подсчета вероятности.

Этот способ направлен на неоднократное установление частоты появления события с различным числом объектов в рамках некоторого испытания.

Пример. На бахче готовят партию из десятка тонн арбузов к отправке. Что бы убедиться в их спелости надо просмотреть все арбузы, но тогда придется каждый арбуз пометить и он окажется не пригодным к отправке. На практике можно провести серию испытаний. Выбираем произвольно 10 арбузов и установим число спелых из них. Пусть таких оказалось 9 арбузов, тогда частота р₁=9/10. В другой партии их 15 арбузов оказалось 13 спелых, р₂=13/15. В третей частота оказалась равной р₃ =18/18, в четвертой – р₄= 6/7. Все полученные числа будут группировать около некоторого числа, являющееся средним арифметическим вычисленных частот:

р= (р₁.+ р₂+ р₃ + р₄) / 4 = (9/10+13/15+18/18+6/7) =761 / 840»0,9059.

Запишем статистический способ подсчета вероятности в общем виде:

p₁=m₁ / n₁, p₂=m₂ / n₂, p₃=m₃ / n₃, …. p_i=m_i / n_i. 1£ i £ k

m_i – число появления события,

n_i - число проведенных опытов (наблюдений, испытаний),

p_i – частота появления события в каждом опыте

k – опытов

Естественно предположить, что она будет различная. Вероятность рассматриваемого события будет равна среднему арифметическому полученных частот.

p=(p₁ + p₂+p₃ + …+p_k) / k, где р – статистическая вероятность.

Вероятность события в данном испытании называется число, около которого “группируются” относительные частоты при нескольких

Для существования статистической вероятности собы­тия А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испыта­ний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; значения которой “колеблется около какого-то теоретического числа, например: от 0,39 до 0,41 и др.

Геометрическая вероятность

Чтобы преодолеть недостаток классического опре­деления вероятности, состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности.

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве про­странства Q элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной меры на прямой, плоскости или в пространстве.

Событиями называются измеримые всевозможные подмножества множества Q.

В конкретных задачах испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области Q, а событие А — как попадание выбранной точки в некоторую под­область А области Q. При этом требуется, чтобы все точки области Q имели оди­наковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т. Д.

Геометрическая вероятность – вероятность попа­дания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства).

Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(е). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g - часть области G, равна отношению мер областей g и G, соответственно равнее m(g) и m(G).

Формула г еометрической вероятности в этом случае имеет вид: P=m(g): m(G)

В случае классического определения вероят­ность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).

В случае геометри­ческого определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Геометрическая вероятность на отрезке.

Пусть отрезок m составляет часть отрезка L. На отре­зок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок m пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относи­тельно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок m определяется равенством

Р =( Длина m): /Длина L).

Пример. Вычислить геометрические вероятности на отрезке

1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков 0В и ВА имеет длину, большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине от­резка и не зависит от его расположения на числовой оси,

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попа­дет на отрезок CD длины L/3. Искомая вероятность

P=(L/3): L= l/3.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ТЕСТЫ

1. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет простое число.

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

2. Монета бросается 2 раза. Какова вероятность того что хотя бы один раз выпадет орел?

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) 0.

3. Среди 100 электрических ламп, 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными.

А) 0,2;

Б) 0,96;

В) 0,86;

Г) 0,57.

4. В корзине находятся 4 белых и 7 черных шариков. Какова вероятность того, что наугад вытянутый шарик окажется белого цвета?

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

5. В одном ящике находятся 8 белых и 12 красных шариков, в другом – 15 синих и 5 черных шариков. Из каждого ящика наугад вынимают по одному шарику. Какова вероятность того, что вытянули красный и черный шарики?

А) 0,31;

Б) 0,19;

В)0,15;

Г)0,25.

Контрольные вопросы:

1. Случайное явление – это____________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

2. Назовите виды случайных событий.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Вероятность – это ___________________________________________

___________________________________________________________

Тема: Вычисление вероятностей с использованием элементов комбинаторики.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует собы­тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: Р (А)= 1/10.

2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на­удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры,

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е. 10-9 = 90. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможные и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов; Р (В) = 1/90.

3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4

Решение. Общее число равновозможных ис­ходов испытания равно 6-6 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (I; 3), (3; I), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность P(A)=3:36=1/12.

4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных. Ответ 0,5

Вычисление вероятностей событий и комбинаторика.

Комбинаторные задачи в теории вероятностей имею большое практическое применение.. Рассмотрим решения некоторые из таких задач

Задание 3-1. Решить задачи средствами комбинаторики

1. Наудачу выбирается трехзначное число в десятичной записи числа, в которой нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно 2 одинаковые цифры?

Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последова­тельному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записы­ванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 9³ = 729. Количество благо­приятных случаев для интересующего нас события подсчитаем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать = 36 способами; если х и у выбраны, то из них можно составить 3 различных числа в которых встречается одна из выбранных цифр и другая – тоже три. Всего 6 раз, Число благоприятствующих случаев окажется равным 36. Искомая вероятность равна: P=216/729=8/27.

Рекомендуется решить эту задачу, если в записи числа используется и цифра 0.

2. Из букв слова “ротор”, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 бук­вы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “тор”?

Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от дру­га, снабдим их номерами: p_lt p₂, o_lf o₃. Тогда общее число элемен­тарных исходов равно: размещению из 5 по 3, равное 60. Слово “тор” получится в 1 ·2 ·2= 4 случаях. Это понятно из того, что, буква “Т может быть выбранной только 1 раз, буквы “О” и “Р” каждая по 2 раза. Р=4/60=1/15.

При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь восполь­зовались правилом произведения:

З. В партии из n деталей имеется f бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k дета­лей окажется s бракованных?

Решение. Количество всех элементарных исходов равно числу сочетаний из n по k. Бракованные детали. могут быть выбранными только из бракованных. Число выбора их равно числу сочетаний из f по s. Остались k-s выбранные не бракованные детали. Они будут выбраны из не бракованных деталей, число которых равно n-f. Вариантов их выбора равно числу сочетаний из n-f по k-s. Ответ:

4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7членов бригады 4 человека можно выбрать 35 способами, сле­довательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщин 6 способами (число сочетаний из 4 по2). Аналогично, из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 · 3 = 18. Р=18/35

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ТЕСТЫ

1. Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, так чтобы ни одно из них не повторялось.

А) 120;

Б) 99;

В) 150;

Г) 87.

2. Сколькими способами из 10 человек можно избрать комиссию в составе 4 человека.

А) 120;

Б) 54;

В) 150;

Г) 210.

3. Сколько четных четырехзначных чисел, которые составляются из цифр 2, 3, 5, 7 можно получить, если повторение цифр в числах запрещены.

А) 4;

Б) 8;

В) 6;

Г) 5.

4.

Тема: Понятие о выборочном методе, генеральная и выборочная совокупность.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Статистика – это научное направление,объединяющее принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления.

Основные определения:

Определение. Всю совокупность объектов, подлежащих изучению,называют генеральной совокупностью.

Генеральной совокупностью могут быть всё население страны, месячная продукция завода, популяция рыб,живущих в данном водоёме и т.д.

Но генеральная совокупность -это не просто множество. Если интересующая нас совокупность объектов слишком многочисленна, или объекты труднодоступны, или имеются другие причины, не позволяющие изучить все объекты, прибегают к изучению какой-то части объектов.

Определение. Та часть объектов, которая попала на проверку,исследование и т.п., называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Определение. Число элементов в генеральной совокупности и выборке называется их объёмами.

Как добиться, чтобы выборка наилучшим образом представляло целое, т.е. была бы репрезентативной?

Если целое, т.е. если генеральная совокупность нам мало известна или совсем неизвестна, не удаётся предложить ничего лучшего, чем чисто случайный выбор. Большая осведомлённость позволяет действовать лучше, но всё равно на некоторой стадии наступает незнание и, как результат – случайный выбор.

Но как осуществить чисто случайный выбор? Как правило, отбор идёт по легко наблюдаемым признакам, ради изучения которого ведётся исследование.

Нарушение же принципов случайного выбора приводило к серьезным ошибкам. Стал знаменитым своей неудачей опрос, проведённый американским журналом “Литературное обозрение” относительно исхода президентских выборов в 1936 году. Кандидатами на этих выборах были Ф.Д.Рузвельт и А.М. Ландон.

Кто победил?

В качестве генеральной совокупности редакция использовала телефонные книги. Отобрав случайно 4миллиона адресов, она разослала открытки с вопросами об отношении к кандидатам в президенты по всей стране. Затратив большую сумму на рассылки и обработку открыток, журнал объявил, что на предстоящих выборах в президенты с большим перевесом победит Ландон. Результат выборов оказался противоположенным этому прогнозу.

Здесь были совершенны сразу две ошибки. Во-первых, телефонные книги не дают репрезентативную выборку из населения США – в основном зажиточные главы семейств. Во-вторых, прислали ответы не все люди, а в значительной части представители делового мира, которые и поддерживали Ландона.

В то же время социологи Дж.Гэллан и Э. Уорнер правильно предсказали победу Ф.Д. Рузвельта, основываясь только на четырёх тысячах анкетах. Причиной этого успеха было не только правильное составление выборки. Они учли, что общество распадается на социальные группы, которые более однородны по отношению к кандидатам в президенты. Поэтому выборка из слоя может быть относительно малочисленной с тем же результатом точности. Победил в итоге Рузвельт, который был сторонником реформ для менее богатых слоёв населения.

Имея результаты обследования по слоям, можно характеризовать общество в целом.