Комбинаторные задачи в теории вероятностей имею большое практическое применение.. Рассмотрим решения некоторые из таких задач
Задание 3-1. Решить задачи средствами комбинаторики
1. Наудачу выбирается трехзначное число в десятичной записи числа, в которой нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно 2 одинаковые цифры?
Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 93 = 729. Количество благоприятных случаев для интересующего нас события подсчитаем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать = 36 способами; если х и у выбраны, то из них можно составить 3 различных числа в которых встречается одна из выбранных цифр и другая – тоже три. Всего 6 раз, Число благоприятствующих случаев окажется равным 36. Искомая вероятность равна: P=216/729=8/27.
|
|
Рекомендуется решить эту задачу, если в записи числа используется и цифра 0.
2. Из букв слова “ротор”, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “тор”?
Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: plt p2, olf o3. Тогда общее число элементарных исходов равно: размещению из 5 по 3, равное 60. Слово “тор” получится в 1 ·2 ·2= 4 случаях. Это понятно из того, что, буква “Т может быть выбранной только 1 раз, буквы “О” и “Р” каждая по 2 раза. Р=4/60=1/15.
При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь воспользовались правилом произведения:
З. В партии из n деталей имеется f бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?
Решение. Количество всех элементарных исходов равно числу сочетаний из n по k. Бракованные детали. могут быть выбранными только из бракованных. Число выбора их равно числу сочетаний из f по s. Остались k-s выбранные не бракованные детали. Они будут выбраны из не бракованных деталей, число которых равно n-f. Вариантов их выбора равно числу сочетаний из n-f по k-s. Ответ:
4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7членов бригады 4 человека можно выбрать 35 способами, следовательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщин 6 способами (число сочетаний из 4 по2). Аналогично, из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 · 3 = 18. Р=18/35