Основные понятия и теоремы

Предел функции

Определение предела функции

Основные понятия и теоремы

Точка a (a или a ) называется предельной точкой множества D, если в любой окрестности точки a имеются точки множества D, отличные от a.

Пример. Рассмотрим множество . Предельными точками этого множества являются все точки отрезка . Точка 10 не является предельной, так как существует окрестность этой точки (например, радиусом 1), в которых нет точек множества , отличных от самой точки 10. Аналогично, точка –10 не является предельной точкой множества .

Пусть функция определена на множестве D и a– предельная точка этого множества.

Определение 1 (по Гейне). Число b называется пределом функции в точке a (или при ), если для любой последовательности такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу b.

Обозначение: или при .

Пример. Рассмотрим постоянную функцию R. Докажем по определению Гейне, что предел этой функции в любой точке R равен значению функции, т.е. числу с. Выбираем произвольную последовательность такую, что R, . Строим соответствующую последовательность значений функции : . Получаем, что последовательность – стационарная, она сходится к числу с. Тогда по определению предела функции по Гейне R.

Замечание. Определение предела функции по Гейне справедливо и в том случае, когда элементы являются . Например,

Определение Гейне основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением “на языке последовательностей”. Существует другое определение предела функции.

Определение 2 (по Коши). Число b называется пределом функции в точке a, если такое, что , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство .

Определение Коши предела функции в точке называют определением ²на языке ².

Пример. Доказать по определению Коши, что .

Выберем произвольное . Задача состоит в том, чтобы для этого найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство .

Преобразуем последнее неравенство: , , . Получили, что неравенство выполняется, если . Отсюда видно, что в качестве можно взять число (или любое меньшее). Таким образом, такое, что , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство . По определению Коши это означает, что .

Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.

Используя понятие окрестности, определение предела функции по Коши можно переписать в следующем виде.

Определение 3. Число b называется пределом функции в точке a, если для любой -окрестности точки b существует такая -окрестность точки a, что выполняется .

Cимволическая запись:

: . (1)

Определение (3) помогает выяснить геометрический смысл определения предела функции. Рассмотрим график функции около точки .

f (a)

0 X

V (a, d)

Пределом функции в точке является число b (заметим, что значение функции в точке равно ). Выберем произвольную окрестность точки b радиуса . Согласно определению 3 для этой окрестности существует окрестность точки такая, что для любого из соответствующее значение функции обязательно попадет в окрестность . Докажем существование такой окрестности , показав способ ее построения.

Через точки на оси ординат проведем прямые, параллельные оси OX до пересечения с графиком функции. Абсциссы точек пересечения обозначим , , где – некоторые положительные числа. Тогда если мы в качестве возьмем минимальное из чисел (на рисунке ), то для любого из соответствующее значение функции обязательно попадет в выбранную окрестность . Если , то такая окрестность может быть построена указанным способом для любой окрестности .

Так как при фиксированных точках и b окрестности , определяются только заданием радиусов и соответственно, то определение 3 в виде (1) можно переписать следующим образом: