Примеры решения задач. 1.Пользуясь определением предела функции по Гейне, сформулировать определение того, что функция не имеет предела в точке a

1. Пользуясь определением предела функции по Гейне, сформулировать определение того, что функция не имеет предела в точке a.

Решение. Запишем определение предела функции в точке по Гейне:

.

Тогда, построив отрицание этого высказывания по известным правилам, получаем:

.

Число b не является пределом функции в точке a, если существует последовательность , , такая, что соответствующая последовательность значений функции не сходится к числу b. Если это предложение верно , т.е. никакое число b не является пределом функции в точке a, то эта функция вообще не имеет предела в точке a.

Таким образом, чтобы доказать, что функция в точке не имеет предела, достаточно показать существование двух последовательностей , , и , , для которых соответствующие последовательности значений функции и сходятся к разным числам и . В этом случае (см. выше) ни число , ни число , ни какое-либо другое число не могут быть пределом функции в точке a, т.е. функции не имеет предела в точке a.

Другой способ доказать отсутствие предела заключается в том, чтобы привести пример хотя бы одной последовательности , для которой последовательность значений функции вообще не имеет предела.

2. Используя результат предыдущего примера, показать, что функция при не имеет предела.

Решение. I способ. Выберем две последовательности точек , , и , . Обе эти последовательности стремятся к . Им соответствуют последовательности значений функций:

, ,

, .

Последовательности значений функции и - стационарные, сходятся к числам и соответственно. Так как , то (см. пример 1) функция не имеет предела при .

II способ. Выберем последовательность , , . Ей соответствует последовательность значений функции , , которая вообще не имеет предела. Следовательно (см. пример 1), функция не имеет предела при .

3. Доказать по определению Коши, что .

Решение. Областью определения функции является множество . Точка не принадлежит области определения функции , но является предельной точкой множества . Это говорит о том, что имеет смысл рассматривать поведение функции при приближении к точке , т.е. имеет смысл выражение . Докажем, что этот предел равен нулю, т.е. согласно определению предела функции по Коши необходимо показать справедливость утверждения:

,

т.е. .

Выберем произвольное . Выясним, при каких верно неравенство . Если мы получим, например, что неравенство верно при (число , вообще говоря, может зависеть от ), то это число и можно выбрать в качестве .

Используя свойства модуля и ограниченность функции , получаем: . Т.е. если для некоторого выполняется неравенство , то в силу транзитивности для этого обязательно выполняется неравенство . Значит, в качестве можно выбрать само число (или любое число, меньшее ).

Таким образом, мы показали, что

,

а это по определению Коши и означает, что .

4. Доказать по определению Коши, что .

Решение. Согласно определению предела функции по Коши необходимо показать справедливость утверждения:

.

Выберем произвольное . Задача состоит в том, чтобы для этого найти такое , при котором из неравенства следовало бы неравенство .

Выясним, когда верно последнее неравенство . При этом нас будет интересовать не при каких верно это неравенство, а при каких . Если мы получим, например, что неравенство верно при (, вообще говоря, может зависеть от ), то это число и можно выбрать в качестве .

Проводим следующие преобразования неравенства: приводим выражение под знаком модуля к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, раскладываем на множители числитель и сокращаем на общий множитель дробь:

, , ,

, , , .

Следовательно, в качестве можно взять .

Таким образом, мы показали, что:

,

а это и означает по определению Коши, что .

5. Сформулировать определения по Гейне и по Коши, соответствующие следующим символическим обозначениям: а) ; б) .

Решение. а) Запишем определение по Гейне, учитывая, что , : , : , .

Определение по Коши получим с помощью общего определения предела:

: .

Учитывая, что , т.е. , и , т.е. , получаем определение предела функции по Коши:

Y

: .

X

O

y =-7

Геометрический смысл: при график функции приближается к прямой . На рисунке изображен график функции, для которой .

б) Запишем определение по Гейне, учитывая, что , :

, : , .

Определение Коши построим, исходя из общего определения предела:

: .

Учитывая, что

и , получаем:

: .

6. Доказать, что .

Решение. С помощью определения 3 построим утверждение, которое нам необходимо доказать:

: .

Записав окрестности в виде неравенств, получаем:

.

Докажем последнее утверждение. Выберем произвольное . Необходимо для этого найти такое , при котором из неравенства следует неравенство .

Решим последнее неравенство (при этом решение ищем в виде ).

, , , , .

Если (т.е. если ), то неравенство , а, значит, и , верно . Тогда в качестве можно брать любое положительное число (например, =1).

Если , то в качестве можно взять число (и любое большее).

Y

Следовательно, мы показали, что для любого существует ( -любое и = ) такое, что . Тогда по определению .

O

y = f (x)

X

Геометрический смысл предела : при больших по модулю значениях аргумента график функции приближается к прямой , т.е. к оси абсцисс.

7. Записать утверждение в предельной форме, т.е. в виде :

а) ;

б) .

Решение. а) В этом примере необходимо решить задачу, обратную задаче примера 5. Сначала перепишем данное высказывание на "языке окрестностей":

.

Затем, сравнивая получившееся высказывание с определением 3, получаем, что . Следовательно, данное утверждение в предельной форме можно записать так: .

б) Данное утверждение перепишем на "языке окрестностей":

.

Тогда . Следовательно,

.