2015-05-05
17467
1. Пользуясь определением предела функции по Гейне, сформулировать определение того, что функция 
не имеет предела в точке a.
Решение. Запишем определение предела функции в точке по Гейне:
.
Тогда, построив отрицание этого высказывания по известным правилам, получаем:
.
Число b не является пределом функции 
в точке a, если существует последовательность 
, 
, такая, что соответствующая последовательность значений функции 
не сходится к числу b. Если это предложение верно 
, т.е. никакое число b не является пределом функции в точке a, то эта функция вообще не имеет предела в точке a.
Таким образом, чтобы доказать, что функция в точке не имеет предела, достаточно показать существование двух последовательностей 
, 
, и 
, 
, для которых соответствующие последовательности значений функции 
и 
сходятся к разным числам 
и 
. В этом случае (см. выше) ни число , ни число 
, ни какое-либо другое число не могут быть пределом функции в точке a, т.е. функции не имеет предела в точке a.
Другой способ доказать отсутствие предела заключается в том, чтобы привести пример хотя бы одной последовательности 
, для которой последовательность значений функции 
вообще не имеет предела.
2. Используя результат предыдущего примера, показать, что функция 
при 
не имеет предела.
Решение. I способ. Выберем две последовательности точек , 
, и , 
. Обе эти последовательности стремятся к 
. Им соответствуют последовательности значений функций:
, 
,
, 
.
Последовательности значений функции и - стационарные, сходятся к числам 
и 
соответственно. Так как 
, то (см. пример 1) функция 
не имеет предела при .
II способ. Выберем последовательность , 
, 
. Ей соответствует последовательность значений функции , 
, которая вообще не имеет предела. Следовательно (см. пример 1), функция 
не имеет предела при .
3. Доказать по определению Коши, что 
.
Решение. Областью определения функции 
является множество 
. Точка 
не принадлежит области определения функции , но является предельной точкой множества 
. Это говорит о том, что имеет смысл рассматривать поведение функции при приближении к точке , т.е. имеет смысл выражение 
. Докажем, что этот предел равен нулю, т.е. согласно определению предела функции по Коши необходимо показать справедливость утверждения:
,
т.е. 
.
Выберем произвольное 
. Выясним, при каких 
верно неравенство 
. Если мы получим, например, что неравенство верно при 
(число 
, вообще говоря, может зависеть от 
), то это число и можно выбрать в качестве 
.
Используя свойства модуля и ограниченность функции 
, получаем: 
. Т.е. если для некоторого выполняется неравенство 
, то в силу транзитивности для этого обязательно выполняется неравенство . Значит, в качестве можно выбрать само число (или любое число, меньшее ).
Таким образом, мы показали, что
,
а это по определению Коши и означает, что .
4. Доказать по определению Коши, что 
.
Решение. Согласно определению предела функции по Коши необходимо показать справедливость утверждения:
.
Выберем произвольное 
. Задача состоит в том, чтобы для этого найти такое 
, при котором из неравенства 
следовало бы неравенство 
.
Выясним, когда верно последнее неравенство . При этом нас будет интересовать не при каких верно это неравенство, а при каких 
. Если мы получим, например, что неравенство верно при 
(, вообще говоря, может зависеть от ), то это число и можно выбрать в качестве .
Проводим следующие преобразования неравенства: приводим выражение под знаком модуля к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые, раскладываем на множители числитель и сокращаем на общий множитель дробь:
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Следовательно, в качестве можно взять 
.
Таким образом, мы показали, что:
,
а это и означает по определению Коши, что .
5. Сформулировать определения по Гейне и по Коши, соответствующие следующим символическим обозначениям: а) 
; б) 
.
Решение. а) Запишем определение по Гейне, учитывая, что 
, 
: 
, 
: , 
.
Определение по Коши получим с помощью общего определения предела:
: 
.
Учитывая, что 
, т.е. 
, и 
, т.е. 
, получаем определение предела функции по Коши:
|
: .
|
|
|
Геометрический смысл: при 
график функции приближается к прямой 
. На рисунке изображен график функции, для которой . б) Запишем определение по Гейне, учитывая, что 
, 
:
, 
: , 
.
Определение Коши построим, исходя из общего определения предела:
: 
.
Учитывая, что 
и 
, получаем:
: 
.
6. Доказать, что 
.
Решение. С помощью определения 3 построим утверждение, которое нам необходимо доказать:
: 
.
Записав окрестности в виде неравенств, получаем:
.
Докажем последнее утверждение. Выберем произвольное . Необходимо для этого найти такое , при котором из неравенства 
следует неравенство 
.
Решим последнее неравенство (при этом решение ищем в виде 
).
, 
, 
, 
, 
.
Если 
(т.е. если 
), то неравенство , а, значит, и , верно 
. Тогда в качестве можно брать любое положительное число (например, =1).
Если 
, то в качестве можно взять число 
(и любое большее).
|
Следовательно, мы показали, что для любого существует ( -любое 
и = 
) такое, что . Тогда по определению .
|
|
|
Геометрический смысл предела : при больших по модулю значениях аргумента график функции 
приближается к прямой 
, т.е. к оси абсцисс. 7. Записать утверждение в предельной форме, т.е. в виде 
:
а) 
;
б) 
.
Решение. а) В этом примере необходимо решить задачу, обратную задаче примера 5. Сначала перепишем данное высказывание на "языке окрестностей":
.
Затем, сравнивая получившееся высказывание с определением 3, получаем, что 
. Следовательно, данное утверждение в предельной форме можно записать так: 
.
б) Данное утверждение перепишем на "языке окрестностей":
.
Тогда 
. Следовательно,
.
