Глава 3. Вычисление определенного интеграла

Теорема. Первообразная как интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f (x) непрерывна на интервале [a,b], то функция Ф(х) = , где , дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф¢(x) = f (x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f(x). Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем приращение аргумента D х столь малым, чтобы точка х + D х лежала внутри отрезка [a,b], и найдем приращение функции Ф(х) (рис. 3.1), приращение обозначено зеленым цветом).

DФ(х) = Ф(х + D х) - Ф(х) = =

Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему о среднем

DФ(x) = = f(с)Dx, где с Î [ x, x +D x ].

Рис. 3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

Следовательно, = f (с). Поскольку f (x) непрерывна и с ® x, если D х ® 0, то Поэтому производная функции Ф(х) равна f(x)

. (3.1)

А так как производная функции Ф(х) равна f(x), то, по определению первообразной, Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f (x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f (x) .

Этот факт показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление представляет собой нечто единое и известен, как основная теорема математического анализа.

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка

(3.2)

Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную

Ф(x) = = F(x) + C. (3.3)

Константу С легко выразить через значение первообразной F(х) в точке а. Действительно принимая во внимание, что

Ф(а) = = 0 (3.4)

из (3.4) получим:

- F (a) = C. (3.5)

Поскольку

Ф(b) = , (3.6)

то, подставив (3.5) и (3.6) в (3.3) получим основную формул математического анализа - формулу Ньютона – Лейбница

(3.7)

где F (x) - первообразная для функции f (x), а - знак подстановки Ньютона. Этот знак означает, что сперва в функцию F (x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию вычисленную в точке нижнего предела.

Формула (3.5) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Пример 1. Вычислить интеграл .