Множество всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так
, (2.1)
где ò - знак интеграла, читается “интеграл”,
f (x) - подынтегральная функция от переменной интегрирования х,
f (x)d x - подынтегральное выражение,
C - постоянная интегрирования.
Часто вместо слов "вычислить неопределенный интеграл" говорят "взять неопределенный интеграл".
Из определения интеграла следует, что
- Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции. Действительно
()¢ = (F (x) + C)¢ = F ¢(x) + 0 = f (x). (2.2)
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. Действительно, так как d F = F ¢(x)d x, получим
d() = ()¢dx = f (x)d x. (2.3)
3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной. Действительно, пусть F (x) - первообразная для функции f (x) (т.е. F¢(x) = f(x)). Тогда
F ¢(x)d x = = F (x) + C (2.4)
или
= F (x) + C (2.5)
Формулы (2.2 – 2.5) наглядно иллюстрируют то обстоятельство, что операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны с точностью до постоянной. В этой связи по аналогии с таблицей формул дифференцирования элементарных функций можно построить таблицу основных интегралов.
|
|
Справедливость этих формул проверяется по формуле (1.1) непосредственным дифференцированием.
Линейные свойства неопределенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
(2.6)
Действительно, возьмем производную от левой и правой частей равенства по формуле (2.2) и проверим, что они совпадают, а это означает, что оба выражения есть первообразные одной и той же функции (1.2).
.
Таблица основных интегралов
2. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций.
(2.7)
Доказательство аналогично.Действительно, возьмем производные от левой и правой части и проверим, что они совпадают. По формуле (2.2)
Замечание. Если каждый из суммируемых неопределенных интегралов содержит свою постоянную интегрирования, то для всей суммы записывается одна постоянная интегрирования.
Пример. Найти .
Решение. Запишем стоящую в числителе единицу в тригонометрическом виде (1 = sin2 x + cos2 x) и разделим почленно числитель на знаменатель, получим табличные интегралы: