Предварительное решение треугольников и вычисление сферических избытков

Предварительное решение треугольников в триангуляции выполняется с целью определения неизвестных длин линий с точностью до целых метров от известной исходной стороны по теореме синусов:

(1)

где а, b, с – стороны треугольника;

А, В, С – противолежащие им углы

Отсюда: b=q sin B, c=q sin C

При этом используются значения измеренных углов, округленные до десятков секунд и составляющие в сумме в каждом из треугольников ровно 180°,

Полученные длины сторон необходимы в дальнейшем для отыскания поправок за центрировку и редукцию и введения их в измеренные направления.

Длины сторон используются для вычисления сферических избытков ε в каждом из треугольников с целью получения их невязок, по которым можно оценить качество измерений,

(2)

Сферический избыток треугольника зависит от его площади и вычисляется по любым двум сторонам и углу между ними:

(3)

где (4)

здесь ρ" =206265";

R_m–средний радиус кривизны поверхности земного эллипсоида, выраженный в километрах, зависящий от широты места, Табличное значение f находится по средней широте сети (приложение 1, приведенное из практикума по высшей геодезии [1]), Сферические избытки в триангуляции 1–2 классов вычисляются до 0,001", Значения сторон в формуле (3) выражают в километрах,

Для линейно-угловых сетей вычисление сферических избытков можно выполнить в соответствии со схемой вычислений, используемой в триангуляции (табл. 3) Полученные втаблице по измеренным углам длины линий можно использовать для их грубого контроля в линейно-угловых сетях, Последняя колонка в таблице заполняется после введения поправок за центрировку и редукцию в измеренные направления.

Таблица 3. Предварительное решение треугольников и вычисление сферических избытков

N треугол.	N вершин	Измеренные углы β	Sin β	Длины сторон, м	Сферические избытки ε"	Измер, углы β, приведенные к центрам, Невязки W"
				q=21336,7	f=0,00253
	Т	75°53′17″	0,969821208		ε = 0,614	75°53′17.08″
	С	67 38 50	0,924859791			67 38 49,49
	Б	36 27 53	0,594327729			36 27 53,65
		180 00 00				180 00 0,22
						0 0 -0,39
				q=19932,8
	М	39°30′29″	0,636186701		ε = 0,291	39°30′29,36″
	С	29 12 09	0,487897747			29 12 09,71
	Т	111 17 22	0,931758133			111 17 21,92
		180 00 00				180 00 0,99
						00 00 0,70
				q=19113,5
	З	103°39′48″	0,971700487		ε = 0,265	103°39′48,29″
	М	55 15 05	0,821660755			55 15 03,86
	С	21 05 07	0,359757073			21 05 05,60
		180 00 00				179 59 57,75
						00 00 -2,52
				q=16077,5
	Т	77°38′35″	0,976833368		ε = 0,388	77°38′35,51″
	З	52 04 10	0,788756377			52 04 08,74
	С	50 17 15	0,769260179			50 17 15,31
		180 00 00				179 59 59,56
						00 00 -0,83

1.3. Вычисление поправок за центрировку, редукцию и составление
таблицы направлений, приведенных к центрам пунктов

В связи с отсутствием прямой видимости между центрами геодезических пунктов, вследствие кривизны Земли и наличия препятствий, измерение направлений и углов выполняют со столиков знаков, наблюдая визирные цели соседних знаков или отражателей на их столиках при измерении сторон, Для оценки качества выполненных измерений и составления таблиц плоских направлений и длин сторон все измеренные направления и линии должны быть приведены к центрам пунктов путем введения в их значения со своими знаками вычисленных поправок за центрировку и редукцию.

Геометрический смысл угловых поправок на одном из пунктов покажем на рис. 2.

Рисунок 2. Определение поправок за центрировку и редукцию на пункте D.

Обозначения:

J, V, С – проекции оси вращения инструмента, оси визирного цилиндра и центра пункта D на горизонтальную плоскость;

пункт А – начальное направление;

пункт В – один из пунктов наблюдаемой сети;

М, М₁ – углы между пунктами, отсчитываемые от начального направления, определяющие значения измеренных направлений, для которых вычисляются поправки;

1,θ – линейный и угловой элементы центрировки;

l₁, θ₁ – линейный и угловой элементы редукции;

С_DA, С_DВ °– поправки за центрировку в направления DA, DB;

r_AD, r_BD – – поправки за редукцию в направления DA, DB.

Согласно представленного рисунка поправки за центрировку и редукцию вычисляются по следующим формулам:

(5)

Линейные и угловые элементы определяют графическим или аналитическим путем: l, l₁ с точностью до целых миллиметров; θ, θ₁ – до 15', Вычисление поправок за центрировку и редукцию на пунктах сети представлено в табл. 4. В триангуляции 1– 2 классов и в специальных сетях соответствующей точности, поправки вычисляют до 0,001", С целью контроля, вычисления выполняются независимо в две руки.

Таблица 4. Вычисление поправок за центрировку и редукцию

Направления	l, м	θ	θ+M	S, м	с"	l 1, м	θ1	θ1+M1	г"
С–Б	0,029	170°45′	170°45′		0,095	0,017	209°	209°00′ 00″	-0,136
Т			238 23 50		-0,223	0,017		276 38 50	-0,272
М			267 35 58		0,314	0,017		305 50 58	0,016
			288 41 05		0,027	0,017		326 56 05	0,217
Б–Т	0,047	198°15′	198°15′		-0,440
С	0,047		234 42 53		0,393
М–З	0,015	131°30′	131°30′		0,340	0,049	220°15′	220°15′ 00″	0,548
С	0,015		186 45 04		-0,035	0,049		275 30 04	0,540
Т	0,015		226 15 34		0,317	0,049		315 00 34	-0,261

Полученные значения поправок вводятся со своим знаком в измеренные на пунктах направления и приводятся к нулевому начальному направлению, Результатом вычислений является таблица направлений, приведенных к центрам пунктов (табл. 5),

Найденные значения направлений можно использовать для предварительной оценки качества угловых измерений по величинам невязок треугольников в соответствии с формулой (2), Вычисления приведены в табл. 3.

Полученные невязки не должны превышать допустимой величины, определяемой следующей формулой:

(6)

где μ – средняя квадратическая ошибка единицы веса;

[аа] – сумма квадратов коэффициентов условного уравнения,

Для линейно-угловой сети, соответствующей по точности измерениям углов в триангуляции 2 класса, μ = 1", а

(7)

Таблица 5. Таблица направлений, приведенных к центрам пунктов

Направления	Измерение направления	с"	r"	(с+r)"	(с+r)"о	Направления, прив. к центрам пунктов
3–С	00°00′00″		0,217	0,217	0,000	0°	0′	0,00″
Т	52 04 08,96			0,000	-0,217			8,74
М	103 39 47,96		0,548	0,548	0,331			48,29
С–Б		0,095		0,095	0,000			0,00
Т	67 38 49,81	-0,223		-0,223	-0,318			49,49
М	96 50 58,44	0,314	0,540	0,855	0,760			59,20
	117 56 4,87	0,027		0,027	-0,068			4,80
Б–Т		-0,440		-0,440	0,000			0,00
С	36 27 52,95	0,393	-0,136	0,257	0,697			53,65
Т–М				0,000	0,000			0,00
	33 38 46,41			0,000	0,000			46,41
С	111 17 21,65		-0,272	-0,272	0,272			21,92
Б	187 10 39			0,000	0,000			39,00
М–З		0,340		0,340	0,000			0,00
С	55 15 04,22	-0,035	0,016	-0,019	-0,358			3,86
Т	94 45 33,5	0,317	-0,261	0,056	-0,284			33,22

Если полученные значения невязок превосходят данную величину, то необходимо дать рекомендации на повторные измерения на пунктах сети, образующих данный треугольник, с целью получения их допустимых значений.