Свойства куба

1. У куба все грани — квадраты.

2. a√3 (d² = a² + a² + a², где a — ребро куба, d — диагональ куба).

3. V_куба = a³.

4. S_{бок. куба} = 4a²; S_{полн. куба} = 6a²

Задача 1.Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30^о. Найдите высоту призмы (рис.48)

Рис.48

ВО - перпендикуляр в основанию, так что ∆АВО - прямоугольный.

Значит ВС=АВ∙sinВАС =1,5∙ sin 30^o =7,5 (см)

Ответ: 7,5 см.

Задача 2. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна

12 м². Найти высоту.

Решение:

Так как все ребра равны, то боковые грани являются квадратами. Площадь одной грани равна трети площади боковой поверхности: 12: 3 = 4 (м²). Значит, сторона квадрата равна = 2 (м). Тогда ребро призмы равно высоте и равно 2м.

Ответ: 2 м.

Задача 3. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 32 м², а полная поверхность равна 40 м². Найти высоту.

Решение:

Так как площадь поверхности S = S_бок + 2S_осн, то площадь поверхности основания равна S_осн = (40 – 32): 2 = 4 (м²).

В основании находится квадрат, так как призма правильная, так что сторона квадрата равна = 2 (м).

Боковая поверхность правильной призмы равна: S_бок = р∙h = 4 а∙h, так что

h = S: (4 а) = 32: (4 ∙ 2) = 4 (м²)

Ответ: 4 м.

Задача 4. В правильной четырехугольной призме площадь основания равны 144 см², а высота рана 14см. Определить диагональ этой призмы.

Решение:

Так как призма правильная, то в основании ее лежит квадрат и его площадь равна: S=a²

Тогда a=

Далее, заметим, что правильная четырехугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, так что квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений, так что:

d ²=a²+a²+h²= 12²+12²+14²=484, d = 22(см)

Задачи

Цель. Учиться изображать основные многогранники, выполнять чертежи по условиям задач; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

1. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5м, стороны основания равны 6м и 8м, одна из диагоналей основания равна 12м. Определить диагонали параллелепипеда.

2. В прямом параллелепипеде стороны основания 3см и 5см, одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда с плоскостью основания составляет угол в 60^о. определить диагонали параллелепипеда.

3. Поверхность куба равна 24 м². Найти его ребро

4. Определить поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22см, 16 см.

5. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 м и 8м и образуют угол в 30^о; боковое ребро равно 5 м. Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

6. Определить полную поверхность прямой треугольной призмы, если ее высота равна 50 см, а стороны основания 40 см, 13 см, 37 см.

7. В прямой треугольной призме стороны основания равны 25 дм, 29 дм и 36 дм, а полная поверхность содержит 1620 дм². Определить боковую поверхность призмы.

8. Расстояние между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы: 2 см, 3см, 4 см. Боковая поверхность равна 45см². Найти боковое ребро.