Колебания и волны. Разложение в ряд Фурье

При описании физических явлений в твердых телах нам часто придется иметь дело с плоскими волнами, как вещественными, так и комплексными.

Вещественная одномерная плоская волна (например, волна упругих напряжений) описывается функцией | A |cos(kx + φ), где | A | — амплитуда волны, k — волновое число, φ — фаза. Волновое число k определяет длину волны λ = 2 π / k, а фаза φ — сдвиг по оси x: kx – φ = k (x + φ / k), т. е. сдвиг равен – φ / k.

Комплексная одномерная плоская волна (например, волновая функция свободного электрона) описывается комплексной экспонентой: A exp(ikx), где A — комплексная амплитуда: A = | A |exp(iφ).

Функция | A |cos(kx + φ) является вещественной частью комплексной экспоненты, поэтому и вещественные волны удобно описывать комплексной плоской волной, помня при этом, что физической величине соответствует вещественная часть функции.

Все сказанное легко обобщается на трехмерный случай (да и вообще на случай любой размерности). Вещественная плоская волна в пространстве имеет вид , комплексная: . Волновой вектор задает направление распространения и длину волны λ = 2 π / k, .

Любая функция , удовлетворяющая весьма общим условиям (например, ограниченность на бесконечности), может быть представлена в виде наложения всех плоских волн с разными амплитудами, т. е. разложена в интеграл Фурье:

(1)

Любая одномерная периодическая функция f (x) с периодом L может быть разложена в ряд Фурье:

(2)

где n пробегает все целые числа. Это и понятно: в разложении периодической функции присутствуют только такие волны, для которых L также является периодом: e^ikx = e^ik ^{(x + L)}, что выполняется только при ''разрешенных'' k = 2 π n / L. Иными словами, на длине L должно укладываться целое число длин волн: λ = L / n.