Плотность состояний

Квазичастица — это объект, который описывается гармонической плоской волной (это математическое определение).

Каждая квазичастица обладает определенной энергией , а волна — соответствующей частотой, . Зависимость (или ), как уже говорилось, называется законом дисперсии, это самая важная характеристика квазичастицы. Иногда вместо зависимости используют зависимость , где — импульс частицы. В простейший случаях энергия зависит только от модуля волнового вектора (свободные электроны, фотоны в вакууме), но в общем случае зависит и от направления (большинство квазичастиц в кристаллах).

Обозначим через Δ N число разрешенных состояний квазичастицы для единичного нормировочного объема (V = 1), энергии которых находятся в интервале от до , где .

Плотностью состояний квазичастицы называется предел отношения при , т. е. число состояний на единицу объема, приходящихся на единичный интервал энергии.

Сосчитаем Δ N. Проведем в k -пространстве две поверхности постоянной энергии, соответствующие энергиям и , где . Эти поверхности для двумерного случая изображены на рис. 3, где также нарисована двумерная решетка, в узлах которой располагаются разрешенные значения волновых векторов.

Рис. 3.

Число состояний Δ N с энергиями от до равно отношению объема Δ ³ k, заключенному между поверхностями, к объему δ k, приходящемуся на одно разрешенное состояние.

Если энергия квазичастицы зависит только от модуля волнового вектора, то поверхности постоянной энергии в k -пространстве представляют собой сферы (в двумерном пространстве на картинке — круги). Объем тонкого шарового слоя толщиной Δ k равен 4 π k ² Δ k. Учитывая, что δ k = (2 π)³/ V, а мы считаем число состояний на единицу объема (V = 1), для плотности состояний получаем: