Свойства предела функции

1. Функция f (x) в точке х₀ может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть (1)

и одновременно

где a≠b. (2)

Тогда для любой последовательности { х_n} сходящейся к х₀ (где все х_n≠ х₀), мы должны иметь два предела

что невозможно, т.к. последовательность { f (х_n)} может иметь только один предел.

2.Если f (x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U₁=(х₀-ε; х₀+ε), ε>0. Ввиду неограниченности f (x) в этой окрестности должна найтись точка х₁Î U₁, такая что │ f (х₁)│>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U₂=(х₀-ε/2; х₀+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х₂Î U₂, такая что │ f (х₂)│>2. Продолжив это рассуждение, получим U_n=(х₀-ε/n; х₀+ε/n), f (х_n) > n, х_n → х₀; f (х_n)→∞. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f (x) ≥b, то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).

4.Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f (x)≥g(x), то и если пределы существуют.

5. Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f (x)≥g(x)≥h(x) причем пределы f (x) и h(x) при х→ х₀ существуют и равны между собой