Замечательные пределы. 1) lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел

MK= sinx Видно, что sinx<x<tgx,

1<x/ sinx<1/cosx

1>sinx/x>cosx

при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое равенство.

2) lim (1+1/x)^x =e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.

Док-во.

Докажем

1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы выполнялось нер-во:

n ≤ x< n+1 (1)

Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим: 1+1/ n ≥ 1+1/x> 1+1/(n+1)

Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)ⁿ⁺¹≥ (1+1/x)^x> (1+1/(n+1))ⁿ или f(x) ≥(1+1/x)^x>g(x). При х→+∞,n →+∞, f(x) и g(x)→е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)^x →е(при х→+∞), что и т.д.

2) при -∞. Пу сть х=-t, где t>0.

(1+1/x)^x=(1-1/t)-^t =((t-1)/t)^-t =(t/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t-1 (1+1/(t-1))^x Выражение в правой части →е*1=е при х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.