2015-05-05
214
Пусть задана квадратная матрица 
.
Определителем (det A) квадратной матрицы А со столбцами xi = 
называется функционал j(x 1, x 2, …, x n) относительно столбцов этой матрицы, которой а) линеен по каждому аргументу (полилинеен);
б) абсолютно антисимметричен (антисимметричен по любой паре аргументов);
в) выполнено условие нормировки 
.
Таким образом:
5°. 
.
Например: для определителя 3го порядка 
в сумму входят 3! слагаемых a 11 a 22 a 33, a 12 a 23 a 31, a 13 a 21 a 32, a 13 a 22 a 31, a 12 a 21 a 33 и a 11 a 23 a 32. Знаки этих слагаемых определяются четностью перестановок: 
, 
, 
, 
, 
, 
. Количество беспорядков в этих перестановках соответственно равно: 0, 2, 2, 3,1,1. Первые три перестановки четные, последние три нечетные, поэтому получаем уже известную из курса аналитической геометрии формулу:
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 – a 12 a 21 a 33 – a 11 a 23 a 32.
Аналогично можно выписать непосредственно формулу вычисления определителя 4го порядка (24 слагаемых), 5го порядка (120 слагаемых). Ясно, что с увеличением порядка определителя его вычисление по определению становится чрезвычайно обременительным, если не невозможным.
|
|
|
Изучение свойств определителей позволит нам обойти эту трудность.
