Полилинейный функционал

Если " x ₁, x ₂, …, x_k Î V_n $j(x ₁, x ₂, …, x_k)ÎK и j(x ₁, x ₂, …, x_k) линеен по каждому из аргументов x ₁, x ₂, …, x_k (k £ dim V_n) то говорят, что на V_n задан полилинейный (k – линейный) функционал или полилинейная (k – линейная) форма.

Полилинейный функционал называется симметричным по паре аргументов x_i и x_{j ,} если j(… x_i, … x_j, …) = j(… x_j, … x_i, …) и антисимметричным по паре аргументов x_i и x_j, если j(… x_i, … x_j, …) = –j(… x_j, … x_i,…).

Полилинейный функционал называется абсолютно симметричным, если он симметричен по любой паре своих аргументов и антисимметричным, если он антисимметричен по любой паре своих аргументов.

Рассмотрим j(x ₁, x ₂, …, x_k). x ₁, x ₂, …, x_k Î V_n. – базис в V_{n .} Тогда " i = 1, 2, …, k

x_i = Þ j(x ₁, x ₂, …, x_k) =

где .

Конструкцию назовем перестановкой элементов 1, 2, …, k. Обозначим

– количество беспорядков в перестановке. Беспорядок это когда большее j_e стоит раньше меньшего j_m.

Например, в перестановке два беспорядка и N (2, 1, 4, 3) = 2, а в перестановке пять беспорядков N (4, 3, 1, 2) = 5.

Если функционал j(x ₁, x ₂, …, x_k) абсолютно антисимметричен, то

j(x ₁, x ₂, …, x_k) = ,

где F = j(e ₁, e ₂, …, e_k). При этом * у знака S означает, что суммирование идет по всем наборам j ₁, j ₂,…, j_k и j ₁, j ₂,…, j_k все разные.