2015-05-05
232
6°. det A = det AT.
◀ 
. ▶
Из этого свойства следует, что строки и столбцы в определителе равноправны. И все свойства для столбцов будут справедливы для строк и наоборот. Все последующие свойства сформулированы для столбцов матрицы, но * у слова столбец означает, что вместо этого слова можно написать слова строка.
7°. Если один из столбцов* определителя равен нулю, то определитель равен нулю.
◀ j(x 1, …, θ, …, xn) = j(x 1, …, 0× хk, …, xn) = 0×j(x 1, x 2, …, xn) = 0. ▶
8°. 
.
◀ j(x 1, x 2, …, xk´ + xk, …, xn) = j(x 1, x2, …, xk´, …, xn) + j(x 1, x 2, …, xk, …, xn). ▶
9°. Общий множитель в столбце * определителя можно выносить за знак определителя.
◀ j(x 1, x 2, …, a xk, …, xn) = aj(x 1, x 2, …, xk, …, xn). ▶
10°. Если в определителе поменять два столбца * местами определитель поменяет знак.
◀ j(x 1, …, xe,…, xm, …, xn) = – j(x 1, …, xm, …, xe, …, xn). ▶
11°. Определитель, имеющий два равных столбца * равен нулю.
◀ Действительно, если поменять местами два столбца, то det A не изменится, ибо они одинаковы, а с другой стороны det A поменяет знак из-за антисимметричности. Следовательно, det A = 0. ▶
|
|
|
12°. Если столбцы* матрицы линейно зависимы, то det A = 0.
◀ Пусть х 1 = 
. Тогда j(x 1, x 2, …, xn) =
= 
= 0. ▶
Если в матрице Am ´ n зафиксировать к строк и к столбцов (k ≤ min(m, n)), то определитель k -порядка матрицы из элементов Am ´ n, стоящих в выбранных строках и столбцах называются минором k -порядка.
Если у det A порядка n, вычеркнуть i -ю строку и j -й столбец, то оставшиеся элементы образуют матрицу (n – 1) порядка. Ее определитель – минор (n – 1)го порядка и обозначается Mij, а величина Aij = (–1) i + j Mij называется алгебраическим дополнением к элементу аij.
13°. 
.
◀ 
=
I. 
;
II. 
;
….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..
n. 
.
Следовательно: detA= … = a 11 A 11 + a 21 A 22 + … + an 1 An 1. ▶
Это все можно проделать не только для первого столбца, а и для 2го, 3го, …, n го столбцов и аналогично для строк.
14°. 
.
◀ 
. ▶
15°. Определитель матрицы не изменится, если к столбцу * добавить линейную комбинацию других столбцов *.
◀ j(x 1 + a2 x 2 + … + a nxn, x 2, …, xn) = j(x 1, x 2, …, xn) + a1j(x 2, …, xn) + a3(x 3, x 2, …, xn) +
+ a n (xn, x 2,…, xn) = j(x1,x2,…,xn). ▶
16°. При умножении матрицы на a, ее определитель умножается на a n :det(A a) = a n det A.
◀ j(a x 1, a x 2 , …, a xn) = a×a … aj(x 1, x 2, …, xn) = a n j(x 1, x 2, …, xn). ▶
17°. Определитель произведения двух матриц произведению определителей сомножителей det A × B = det C = det A ×det B. (C = A × B Û сij = 
).
◀ det C = 
= 
=
= 
. ▶
