2015-05-05
328
Пусть задана квадратная матрица Ann. Выберем в матрице A k -строк i 1, i 2, …, ik и k -столбцов j 1, j 2, ... jk. Определитель матрицы образованной элементами, стоящими на пересечении выбранных столбцов и строк называется минором k го порядка и обозначается 
. Если из матрицы А вычеркнуть выбранные строки и столбцы то определитель оставшейся матрицы называется минором дополнительным к минору и обозначается 
.
Величина 
называется алгебраическим дополнением к минору и обозначается 
.
18°. Теорема Лапласа.
det A = 
.
Суммирование здесь производится по всем минорам k го порядка, стоящим в выбранных k -строках или в выбранных k –столбцах. ◀ ▶
Пример. Вычислить следующий определитель раскрывая его по минорам второго порядка, стоящим во второй и третьей строках определителя:
Существует шесть различных миноров второго порядка, стоящих в указанных строках:
M 12= 
; M 13= 
; M 14= 
; M 23= 
; M 24= 
; M 34= 
.
Дополнительные к ним миноры:
; 
; 
; 
; 
; 
.
Найдем соответствующие алгебраические дополнения:
A 12 = (-1)2+3+3+4 M 34 = M 34; A 13 = (-1)2+3+2+4 M 24 = - M 24; A 14 = (-1)2+3+2+3 M 23 = M 23; A 23 = (-1)2+3+1+4 M 14 = M 14; A 24 = (-1)2+3+1+3 M 13 = - M 13; A 34 = (-1)2+3+1+2 M 12 = M 12.
|
|
|
Теперь, используя теорему Лапласа, можно записать:
D = M 12 A 12 + M 13 A 13 + M 14 A 14 + M 23 A 23 + M 24 A 24 + M 34 A 34 = M 12 M 34 - M 13 M 24 + M 14M23 + + M 23 M 14 - M 24 M 13 + M 34 M 12 = 2 (M 12 M 34 - M 13 M 24 + M 14 M 23 ) = 2 (-13×54+12×45-9×11) = –522.
