Билинейный функционал. Его матрица

Пусть V – линейное вещественное пространство. Если имеется закон, по которому " х, у Î V соответствует некоторое aÎR (числовое поле). Т.е. " х, у Î V ® a = j(х, у)ÎRтакое, что выполняются требования:

– линейность по 1^ому аргументу;

– линейность по 2^ому аргументу,

то говорят, что в линейном пространстве V над полем R задан билинейный функцио­нал или билинейная форма j(х, у).

Пусть – базис в V. Тогда , и тогда

, т.е. , где а_ij =j(е_i, е_j). Матрица называется матрицей билиней­ного функционала (или билинейной формы) в базисе .

Билинейный функционал (форма) называется симметричным, если " х, у Î V j(х, у) = j(у, х) и антисимметричным, если " х, у Î V j(х, у) = –j(у, х).

Естественно, что симметричной билинейной форме соответствует симметричная мат­рица (и наоборот), а антисимметричной билинейной форме соответствует кососимметрич­ная матрица (и наоборот).

1°. Всякая билинейная форма может быть представлена в виде суммы симметрической и антисимметрической билинейных форм. Это представление единственно.

◀ . ▶