2015-05-05
642
Пусть А – линейный оператор на V, а 
базис V. Тогда " х Î V 
.
= 
.
Таким образом действие оператора А на " х Î V полностью определяется числами (аij) образующими матрицу которая называется матрицей линейного оператора А.
Преобразование, проведенное выше, указывает и способ построения матрицы линейного оператора в заданном базисе. Подействуем линейным оператором на векторы базиса, получившиеся векторы разложим в том же базисе и коэффициенты разложения запишем в соответствующие столбцы матрицы линейного оператора.
1°. В заданном базисе 
между квадратичными матрицами и линейными операторами существует взаимно однозначное соответствие.
Пример. Найти матрицу линейного оператора 
в пространстве функций вида { A cos(t + a)} в базисе e 1 = cos t, e 2 = sin t.
Подействуем оператором А на еi, полученный вектор разложим в базисе {cos t, sin t } и координаты этого вектора запишем в i -й столбец: 
. Тогда 
. Это и есть матрица линейного оператора 
.
В самом деле: (3cos(t + 5)) ¢ =?
3cos(t + 5) = 3cos5cos t – 3sin5sin t = 3cos5 e 1 – 3sin5 e 2.
|
|
|
Тогда 
.
у = –3sin5 e 1 – 3cos5 e 2 = –3sin5cos t – 3cos5sin t = –3sin(t + 5).
