Раздел 8. Преобразования при изменении базиса

Матрица и оператор перехода

Пусть в линейном пространстве V задан базис { e ₁, e ₂, e ₃, …, e_n } и другой базис { f ₁, f ₂, f ₃, …, f_n }. Разложим векторы f_k по базису { e_i }: , т.е. .

Если координаты векторов нового базиса в старом записать в столбцы, получим матрицу линейного оператора Р который переводит векторы e_i в f_i (т.е. Рe_i = f_i). Этот оператор называется оператором перехода от базиса { e_i }к базису { f_i }, а его матрица называется матрицей соответствующего перехода.

Этот оператор невырожденный ибо { e_i }и { f_i }линейно независимы и, следовательно, имеет обратный оператор Р ^–1, который является оператором перехода от базиса { f_i }к базису { e_i }. Таким образом, базисные векторы преобразуются с помощью оператора перехода Р _e→f:

Pe_i = f_i и Р ^–1 f_i = e_i.