Свойства сопряженных операторов

1° Е ^* = Е. ◀ (Ех, у) = (х, у) = (х, Еу) ▶

2° (А + В)^*= А ^*+ В ^*.

◀ ((А + В) х, у) = (Ах + Вх, у) = (Ах, у) + (Вх, у) = (х, А ^* у) + (х, В ^* у) = (х, (А ^* + В ^*) у) ▶

3° (l А)^* = . ◀ (l Ах, у) = l(Ах, у) = l(х, А ^* у) = ▶

4° (А ^*)^*= А. ◀ (А ^* х, у) = = (х, Ау) ▶

5° (АВ)^*= В ^* А ^*. ◀ (АВх, у) = (А (Вх), у) = (Вх, А ^* у) = (х, В ^*(А ^*) у) = (х, В ^* А ^* у) ▶

6° (А ^–1)^*=(А ^*)^–1.

Примечание: в евклидовом пространстве также справедливо все то, что сказано о сопряженном операторе, но свойство 3° имеет вид: (l А)^* = l А ^*

Примечание: физики очень часто обозначают А ^* как А ⁺ (читается А – крест) и операцию называют эрмитовым сопряжением.