2015-05-05
658
ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА". Часть I
1. Образуют ли линейное пространство все функции вида 
, где 
и 
- произвольные числа?
2. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 3 при 
?
3. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 0 при 
?
4. В пространстве полиномов степени не выше 3, является ли подпространством совокупность полиномов у которых 
?
5. Найти базис и размерность подпространства многочленов, степени не выше 
, удовлетворяющих условию: 
.
6. Найти базис и размерность подпространства полиномов, степени не выше 
и удовлетворяющих условию: 
.
7. Найти базис и размерность линейной оболочки, натянутой на векторы: 
.
8. Найти размерность линейного подпространства, порожденного векторами: 
.
9. Найти размерность и базис линейной оболочки, натянутой на систему векторов: а) 
;
б) 
.
10. Найти координаты вектора 
в базисе
.
11. Показать, что векторы 
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
12. Найти координаты полинома 
в базисе 
линейного пространства полиномов степени не выше .
13. Найти координаты вектора 
в ортогональном базисе 
, если 
.
14. Являются ли векторы 
линейно независимыми или не являются?
15. Найти угол между векторами 
и 
, если
.
16. Найти матрицу Грамма системы векторов 
, если
.
17. Найти матрицу Грамма системы векторов , если
.
18. Ортогонализовать следующие системы векторов, которые заданы своими координатами в стандартном ортонормированном базисе:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
19. В пространстве полиномов степени не выше 2, введено скалярное произведение: 
. В этом пространстве ортогонализовать систему векторов .
20. Ортогонализовать векторы 
, если .
21. Проверив, что билинейная форма 
определяет скалярное произведение, в этом скалярном произведении ортогонализовать системы векторов:
а) 
;
б) 
.
22. Ортогонализовать следующие системы векторов с указанными скалярными произведениями:
а) 
, 
;
б) , 
;
в) 
, 
;
г) 
, .
23. Дополнить следующие системы векторов до ортонормированного базиса:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
24. Найти произведение матриц:
а) 
; б) 
.
25. Найти ранг матрицы:
а) 
; б) 
; в) 
.
26. Найти ранг и базисный минор матрицы:
а) 
; б) 
.
27. Найти матрицу, обратную к заданной матрице:
а) 
; б) 
; в) 
.
28. Вычислить 
, если:
а) 
, б) 
, в) 
; 
; 
.
29. Решить матричные уравнения:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
30. Сколько миноров k -го порядка содержат определитель порядка ?
31. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:
а) 
; б) 
; в) 
.
32. Вычислить определители
а) 
; б) 
; в) 
.
33. Решить уравнения:
а) 
; б) 
.
34. Найти общее решение следующих однородных систем линейных уравнений:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
35. Решить систему по правилу Крамера: 
.
36. Решить следующие системы неоднородных уравнений:
а) 
; б) 
;
в) 
.
37. Подобрать 
так чтобы система уравнений имела решения:
а) 
; б) 
.
38. Будет ли линейным оператором в пространстве всех многочленов 
оператор дифференцирования 
?
39. Доказать, что оператор 
в трехмерном пространстве, где 
- постоянный вектор, является линейным оператором.
40. Найти матрицу оператора 
в указанном базисе пространства полиномов степени не выше :
а) 
; б) 
.
41. Найти матрицу оператора 
в базисе 
.
42. Найти матрицу оператора 
в базисе 
.
43. Доказать, что оператор 
является линейным и отображает пространство 
(функций, интегрируемых на 
) на пространство многочленов первой степени от 
и 
. Найти матрицу этого оператора в подпространстве, базисом которого является система векторов 
.
44. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
.
45. Дана матрица 
и полином 
. Найти собственные числа и собственные векторы оператора 
.
46. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе
.
47. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе
e 1(1,-1,1), e2(1,1,-1), e 3(1,-1,-1).
48. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе
e 1(1,-1,1), e2(1,1,-1), e 3(1,-1,-1).
49. Найти матрицу билинейной формы 
в базисе .
50. Определить число положительных и отрицательных канонических коэффициентов для квадратичной формы: 
.
51. Найти все значения параметра , при которых следующие квадратичные формы являются положительно определенными:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
52. Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
.
53. Найти ортогональную проекцию 
и ортогональную составляющую 
вектора 
на подпространство, порожденное системой векторов 
:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
54. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора 
на подпространство 
, определяемое системой уравнений 
.
55. Найти проекцию вектора 
на подпространство с базисом 
, если скалярное произведение имеет вид: .
56. Найти проекцию вектора 
на подпространство с базисом , если скалярное произведение имеет вид: 
.
57. Найти угол между вектором и линейной оболочкой L 
:
а) 
;
б) 
.
58. Найти угол между вектором 
и линейным подпространством, натянутым на векторы 
:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
59. Найти расстояние между вектором 
и линейной оболочкой векторов 
.
60. Найти расстояние между вектором 
и линейным подпространством, решений системы: 
.
61. Найти расстояние от вектора 
до гиперплоскости, заданной системой уравнений: 
.
62. Составить формулы преобразования координат при переходе от базиса 
к базису 
.
63. В стандартном базисе найти матрицу оператора, переводящего векторы 
в векторы 
соответственно:
а) 
;
б) 
.
64. Найти матрицу перехода от базиса 
к базису 
пространства многочленов степени не выше .
65. Каковы будут координаты векторов 
и 
, если векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса по формулам: 
.
66. Линейный оператор в стандартном базисе задан матрицей 
. 67. Найти матрицу указанного линейного оператора в базисе 
.
68. Найти матрицу билинейной формы 
, заданной в стандартном базисе, в новом базисе 
:
а) 
,
;
б) 
,
;
в) 
,
.
