Экзаменационные задачи

ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА". Часть I

1. Образуют ли линейное пространство все функции вида , где и - произвольные числа?

2. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 3 при ?

3. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 0 при ?

4. В пространстве полиномов степени не выше 3, является ли подпространством совокупность полиномов у которых ?

5. Найти базис и размерность подпространства многочленов, степени не выше , удовлетворяющих условию: .

6. Найти базис и размерность подпространства полиномов, степени не выше и удовлетворяющих условию: .

7. Найти базис и размерность линейной оболочки, натянутой на векторы: .

8. Найти размерность линейного подпространства, порожденного векторами: .

9. Найти размерность и базис линейной оболочки, натянутой на систему векторов: а) ;

б) .

10. Найти координаты вектора в базисе

.

11. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

12. Найти координаты полинома в базисе линейного пространства полиномов степени не выше .

13. Найти координаты вектора в ортогональном базисе , если .

14. Являются ли векторы линейно независимыми или не являются?

15. Найти угол между векторами и , если

.

16. Найти матрицу Грамма системы векторов , если

.

17. Найти матрицу Грамма системы векторов , если

.

18. Ортогонализовать следующие системы векторов, которые заданы своими координатами в стандартном ортонормированном базисе:

а) ;

б) ;

в) .

19. В пространстве полиномов степени не выше 2, введено скалярное произведение: . В этом пространстве ортогонализовать систему векторов .

20. Ортогонализовать векторы , если .

21. Проверив, что билинейная форма определяет скалярное произведение, в этом скалярном произведении ортогонализовать системы векторов:

а) ;

б) .

22. Ортогонализовать следующие системы векторов с указанными скалярными произведениями:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

23. Дополнить следующие системы векторов до ортонормированного базиса:

а) ;

б) ;

в) .

24. Найти произведение матриц:

а) ; б) .

25. Найти ранг матрицы:

а) ; б) ; в) .

26. Найти ранг и базисный минор матрицы:

а) ; б) .

27. Найти матрицу, обратную к заданной матрице:

а) ; б) ; в) .

28. Вычислить , если:

а) , б) , в)

; ; .

29. Решить матричные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

30. Сколько миноров k ^-го порядка содержат определитель порядка ?

31. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:

а) ; б) ; в) .

32. Вычислить определители

а) ; б) ; в) .

33. Решить уравнения:

а) ; б) .

34. Найти общее решение следующих однородных систем линейных уравнений:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

35. Решить систему по правилу Крамера: .

36. Решить следующие системы неоднородных уравнений:

а) ; б) ;

в) .

37. Подобрать так чтобы система уравнений имела решения:

а) ; б) .

38. Будет ли линейным оператором в пространстве всех многочленов оператор дифференцирования ?

39. Доказать, что оператор в трехмерном пространстве, где - постоянный вектор, является линейным оператором.

40. Найти матрицу оператора в указанном базисе пространства полиномов степени не выше :

а) ; б) .

41. Найти матрицу оператора в базисе .

42. Найти матрицу оператора в базисе .

43. Доказать, что оператор является линейным и отображает пространство (функций, интегрируемых на ) на пространство многочленов первой степени от и . Найти матрицу этого оператора в подпространстве, базисом которого является система векторов .

44. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

45. Дана матрица и полином . Найти собственные числа и собственные векторы оператора .

46. Найти матрицу билинейной формы в базисе

.

47. Найти матрицу билинейной формы в базисе

e ₁(1,-1,1), e₂(1,1,-1), e ₃(1,-1,-1).

48. Найти матрицу билинейной формы в базисе

e ₁(1,-1,1), e₂(1,1,-1), e ₃(1,-1,-1).

49. Найти матрицу билинейной формы в базисе .

50. Определить число положительных и отрицательных канонических коэффициентов для квадратичной формы: .

51. Найти все значения параметра , при которых следующие квадратичные формы являются положительно определенными:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

52. Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

53. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на подпространство, порожденное системой векторов :

а) ;

б) ;

в) .

54. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век­­тора на подпространство , определяемое системой уравнений .

55. Найти проекцию вектора на подпространство с базисом , если скалярное произведение имеет вид: .

56. Найти проекцию вектора на подпространство с базисом , если скалярное произведение имеет вид: .

57. Найти угол между вектором и линейной оболочкой L :

а) ;

б) .

58. Найти угол между вектором и линейным подпространством, натянутым на векторы :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

59. Найти расстояние между вектором и линейной оболочкой векторов .

60. Найти расстояние между вектором и линейным подпространством, решений системы: .

61. Найти расстояние от вектора до гиперплоскости, заданной системой уравнений: .

62. Составить формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису .

63. В стандартном базисе найти матрицу оператора, переводящего векторы в векторы соответственно:

а) ;

б) .

64. Найти матрицу перехода от базиса к базису пространства многочленов степени не выше .

65. Каковы будут координаты векторов и , если векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса по формулам: .

66. Линейный оператор в стандартном базисе задан матрицей . 67. Найти матрицу указанного линейного оператора в базисе .

68. Найти матрицу билинейной формы , заданной в стандартном базисе, в новом базисе :

а) ,

;

б) ,

;

в) ,

.